高考数学第一轮复习立体几何专题题库17

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1、221.αβγabc图2－63如图2－63，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ。α∩γ＝a，β∩γ＝b且a∥b，求证α∥β。证明：在平面γ内作直线c⊥a，∵a∥b，∴c⊥b。　　　　∵α⊥γ，∴c⊥α，　　　又∵β⊥γ，∴c⊥β，　　　　∴α∥β222.求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行。已知：如图：a//α,a//β,α∩β＝b，求证：a//b解析：本题可利用线面平行的性质定理来证明线线平行。证明:如图2－28，过a作平面γ、δ，使得γ∩α＝c，δ∩β＝d，那么有ααβbαaαcαdαδγ点评:本题证明过程，实际上就

2、是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程。这是证明线线平行的一种典型的思路。223.ABCDEFGH图2－29如图2－29：四面体A－BCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形，（1）求证：CD//平面EFGH；（2）求异面直线AB、CD所成的角。证明：（1）∵截面EFGH是一个矩形，∴EF//GH，又GH平面BCD∴EF//平面BCD，而EF平面ACD，面ACD∩面BCD＝CD∴EF//CD，∴CD//平面EFGH解：（2）则（1）知EF//CD，同理AB//FG，由异面直线所成角的定义知∠EFG即为所求的角。∴AB、CD所成的角为90°

3、224.图2－31AMaONBbα如图2－31：设a、b是异面直线，A∈a，B∈b，AB⊥a，AB⊥b，过AB的中点O作平面α与a、b分别平行，M、N分别是a、b上任意两点，MN与α交于点P，求证：P是MN的中点。证明：连结AN，交平面α于点Q，连结PQ，OQ。∵　b//α，b平面ABN，平面ABN∩α＝OQ，∴b//OQ，又O为AB有中点，∴Q为AN的中点。∵a//α，a平面AMN，平面AMN∩α＝PQ，∴a//PQ，∴P是MN的中点。DABCHEGF图2－32225.如图2－32：平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、

4、AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB（1）求证：EFGH是矩形（2）点E在什么位置时，EFGH的面积最大DABCHEGF图2（1）证明：∵CD//平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF∴CD//EF，同理HG//CD，∴EF//HG，同理HE//GF，∴四边形EFGH为平行四边形，由CD//EF，HE//AB，∴∠HEF为CD和AB所成的角又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF∴四边形EFGH为矩形（2）解：由（1）可知在BCD中EF//CD，设DE＝m，EB＝n226.如图2－23：已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面BD

5、C1。A1ABCDB1C1D1图2－23解析：要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知，须在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线证明:∵ABC1D1，C1D1A1B1，∴AD1//BC1∴ABA1B1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，∴BC1//平面AB1D1，同理，BD//平面AB1D1，又BD∩BC1＝B，∴平面AB1D1//平面BDC1。点评:证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，所以关键是证线线平行。227.如图2－24：B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为

6、ABC、ABD、BCD的重心，（1）求证：平面MNG//平面ACD；（2）求ABDCPHFMGN图2－24解析：（1）要证明平面MNG//平面ACD，由于M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，因此可想到利用重心的性质找出与平面平行的直线。证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，则有：连结PF、FH、PH有MN∥PF，又PF平面ACD，∴MN∥平面ACD。同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD（2）分析：因为△MNG所在的平面与△ACD所

7、在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比。解：由（1）可知，∴MG＝PH，又PH＝AD，∴MG＝AD同理：NG＝AC，MN＝CD，∴MNG∽ACD，其相似比为1：3，∴＝1：9点评:立体几何问题，一般都是化成平面几何问题，所以要重视平面几何。比如重心定理，三角形的三边中线交点叫做三角形有重心，到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。228.ABCDEFGH如图：在正方体ABCD－EFGH中，求证：平面AFH//平面BDG。解析：易证BD//平面AHF，BG//平面AHF，∴平面BDG//平面AHF。ABCDEFGH图2－

8、26RQSMNP229.如图：在正方体ABCD－EFGH中，M、N