高考数学复习点拨 例析导数在函数中的应用

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1、例析导数在函数中的应用有关导数在函数中的应用主要类型有：判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，求参数的范围，前面几种类型的综合及与解析几何等综合题.这些类型成为近两年最闪亮的热点,是高中数学学习的重点之一,预计也是“新课标”下高考的重点.一．利用导数判断函数的单调性例1．求函数的单调区间。分析：求出导数yˊ,令yˊ>0或yˊ<0，解出x的取值范围，便可求出单调区间。解：yˊ，由定义域知x>0，yˊ>0，yˊ<0,故所求单调增区间为，单调减区间为。方法总结：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定的定义

2、域；（2）求导数fˊ(x)；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0；（4）确定的单调区间.若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论.二．利用导数求函数的极值例2．求函数的极值解：的定义域为R.fˊ(x).令yˊ=0，解得x=1或x=－1.当x变化时，yˊ、y的变化情况如下：x(－∞,－1)－1(－1,1)1(1,+∞)yˊ－0+0－y↘极小值－3↗极大值－1↘当x=－1时，y有极小值－3，当x=1时，y有极大值－1.方法总结：求可导函数极值的步骤是：（1）求导数fˊ(x)；（2）求fˊ(x)=0的所有实数根；（3

3、）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数fˊ(x)的符号如何变化，如果fˊ(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果fˊ(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值.注意：如果fˊ(x)=0的根x=x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值.三.利用导数求函数的最值例3．求函数f(x)在[0，2]上的最大值和最小值.解：fˊ(x)令，化简为，解得x1=－2(舍去)，x2=1.当0≤x<1时,fˊ(x)>0，f(x)单调递增；当1

4、大值.又因f(0)=0,>0,f(1)>f(2),f(0)=0为函数f(x)在[0，2]上的最小值，f(1)=为函数f(x)在[0，2]上的最大值.方法总结：求f(x)在[a，b]内的最大值和最小值的步骤：（1）求f(x)在（a，b）内的极值；（2）求f(x)在区间端点的值f(a)与f(b)；（3）将函数f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.四.证明不等式例4.已知x∈R，ex≥x+1.分析：应首先构造函数，对函数进行求导，并判断函数的单调性.证明：令f(x)=ex－x－1，∴fˊ(x

5、)=ex－1.∵x∈,∴ex－1≥0恒成立，即fˊ(x)≥0.∴f(x)为增函数.当x∈(－∞,0)时，fˊ(x)=ex－1<0，∴f(x)为增减数.又∵f(0)=0,∴当x∈R时，f(x)≥f(0)，即ex－x－1≥0，∴ex≥x+1.五．求参数的值或范围：这种类型往往是已知函数的单调性，通过逆向思维，判断导函数的符号，再求参数的值或范围.例5．已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.解法1：依定义开口向上的抛物线，故要使在区间（－1，1）上恒成立.解法2：依定义的图象是开口向下的抛物线，六.综合型例6.设，点P（，

6、0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（Ⅰ）用表示a，b，c；（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.解：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以，即.因为所以.又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以而将代入上式得因此故，，（II）解法一：.当时，函数单调递减.由，若；若由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则所以又当时，函数在（－1，3）上单调递减.所以的取值范围为解法二：因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）上的抛物线，所以即解得所以的取值范围为