高考数学复习点拨 定积分应用例析

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1、定积分应用例析定积分的应用广泛,通常主要用在求曲边梯形的面积、求旋转体的体积和在物理方面的应用.本文举例解析如下:一.求曲边梯形的面积例1.求曲线y=2x与直线y=x-4围成的图形面积．分析：首先正确画出抛物线和直线的大致图象（关键点要尽可能准确），如果选择积分变量为x，则要将区域分成两块才行，而如果选择积分变量y,如图,问题便很简单．解：由解得和即A,B两点的纵坐标分别是-2和4.因此所求的面积为因为所以S==18.点评：由本题可看出，如果采用x作为积分变量，积分的运算量会增加，可见，认真审题，找出最佳的方法是很重要的．二.求旋转体的体积例2.试求曲线y=和直线x=O

2、,x=a,y=0围成的图形（如图12）绕x轴旋转一圈所得旋转体的体积．分析：虽然曲线y=形式上比较复杂，但图已给定了，据图形可直接用公式求解．解：因为[,点评：旋转体体积公式V=与圆柱体积公式类似可借助柱体体积公式记住这一公式．3.定积分在物理中的应用例3.有一动点P，在时间t时的速度为v(t)=8t-2t2，解下列各小题：(1)P从原点出发，当t=3时，求离开原点的路程；(2)求当t=5时,P点的位置；(3)求t=0到t=5时，点P经过的路程；(4)求P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．分析：本题是一个变速问题，速度与时间有二次函数关系．而且由于二次函数开口

3、向下，当t较大时，8t-2t2＜0，速度v会小于0，即向x轴负方向运动．解：(1)因为所以s1=(2)s2=(3)当v(t)=8t-2t2≥0时，即0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动；t>4时，P点向x轴负方向运动，因此，所求路程应为s3=(4)依题意,即，得t1＝0或t2=6.t1=0对应于P点刚开始从原点出发的情况．t2=6是我们所求的t值，此时v(t)＝v(6)=-24.例4.已知A、B两地相距400m,甲、乙两物体都沿直线从A运动到B，甲物体的速度为v=2t(m/s)，乙物体的速度为v=(t+5)2(m/s),若甲比乙先出发5秒钟，问：从A到B的过程中，甲、乙两

4、物体能否相遇？分析：如果从A到B的过程中两物体能相遇，那么甲、乙相遇时所走的路程应不超过400m否则，甲、乙相遇时已在A,B过程之外．解：设乙出发x秒后两人相遇，则相遇时甲运动的路程s甲=乙运动的路程s乙=],由s甲=s乙，得：∴x3-3x2-105x-18×25=0设其左边为f(x)，则f(10)<0，而f(15)>0，∴该方程在(10,15)内必有根，并设该根为x0.显然x>0,所以x=x0，s甲=s乙=(x0+5)2＜(15+5)2＝400，∴甲、乙能够在从A到B的过程中相遇．点评：利用定积分建立方程和不等式是切入点．