高考数学复习点拨 定积分概念的应用

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1、定积分概念的应用定积分是通过无限分割、近似替代、借助求和再利用极限来达到计算的目的；在这个过程中，因为无限分割，所以求和时可以近似替代即“以直代曲”、“以匀速代变速”、“以均匀代非均匀”……这就是定积分处理问题的基本思想，本文将通过实例来展示这种思想在解题中的具体体现。请欣赏：1、求面积例1、将抛物线在第一象限与、所围成的曲边梯形的面积分析：我们在区间上插入个分点，把区间等分成个小区间，取一个有代表性的小区间在这个小区间上，相应的小矩形面积为，此时，我们用长为，宽为的小矩形的面积，替代了小曲边梯形的面积；显然，当无限小时，这是可以的。于是：点评：本题的关键

2、是“分割”，由于“分割”使得区间化整为零，在每一小段上实现了“小矩形”与“小曲边梯形”面积的合理、巧妙的近似替代，从而产生了有效的处理方法。2、求体积例2、将抛物线在第一象限与、所转成的平面图形绕轴旋转一周，求所得旋转体的体积。分析：如下图，我们也在区间内，插入个分点，把区间等分成个小区间，取一个有代表性的小区间，在这个小区间上，相应的小旋转体的体积为，此时，我们用底面半径为，高为的小圆柱的体积，替代了小旋转体的体积；显然，当无限小时，这也是可以的。于是：解：旋转体的体积点评：求解过后有没有“爽快”的感觉呢？刚开始也许会认为不可“征服”，经过分析会发现不过

3、如此。细想起来会“切片”是关键，能把一个不规则的旋转体，经过合理“切片”后，使其变得“规则”起来，让它进入我们熟悉的范围，进而顺利的求解。3、物体的作功例3、有一个底面半径与高均为米的圆锥形水池装满了水，现要把它抽干（即水全部抽出），问需用功多少？（水的比重）分析：我们知道，水在被抽出的过程中所做的功是不同的。刚开始容易抽出，做功较小，越往下去，水的提升的距离越大，当然，所做的功也就越大。现在我们在内，插入个分点，把区间等分成个小区间，取一个有代表性的小区间，则抽完这一小薄层的水所做的功为水的比重这一层水的体积水面到顶面的高度，即，在这里我们又用底面半径为

4、，高为的小圆柱的体积，替代了一个小圆台的体积，当无限小时，这也是可以的。于是解：由于的直线方程为，那么点评：也是先“切片”，再用规则的几何体替代不规则的几何体，从而顺利产生体积；再回到定积分上，最大区别是被积函数是关于的函数，这是灵活处理所必需的，它告诉我们在使用“被积函数”时有灵活性，它不是不变的。合理的选择对求解过程的优化作用很大。定积分的概念是一个新的数学概念，围绕这个新概念的产生是要有很多辅助知识作基础的，这里我们只是“轻轻”接触与“简单”了解，对这一概念的深层应用，等同学们进入大学，系统的学习有关内容之后会“大饱眼福”的。