高考数学复习点拨 对定积分的概念剖析

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1、对定积分的概念剖析学习定积分对理解中学教材是必要的，如祖日恒原理.只有学习了定积分才能更好地理解它，要想学好本部分，也需从定义学起.　　一、关于定积分的概念　　１.定积分的定义：　　如果函数在区间上连续（如图1），用分点．　　将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式．　　注意：1．定积分是一种“和”的极限，蕴含着分割、近似代替，求和、取极限的思想方

2、法，这种思想方法来源于“计算底边在区间上，高为的曲边梯形的面积”．　　①分割：将大曲边梯形分割成很多个小曲边梯形，即在区间内取个点，它们依次为，这些点把区间等分成个小区间．　　②近似代替：当分点较多，又分割的较细时，即在每个小区间上的值变化不大时，在每个小区间上任取一点，以为高，为底的小矩形面积近似代替相应区间上的小曲边梯形的面积（近似代替可以有以直代曲，以匀速代变速，以恒力代变力，以圆柱代圆锥等多种方式）．　　③求和：将区间上近似代替小曲边梯形的小矩形的面积加起来，就是所求曲边梯形面积的近似值.　　④取极限：当上述分割越来越细，

3、即分点无限增多，同时小区间的长度趋近于零时，则求和公式的极限就是曲边梯形的面积.　　许多实际问题，如求体积、变力作功、变速直线运动的路程等，都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”归结成这种特殊结构的“和”的极限.抛开实际问题的具体意义，从数学结构上来考虑问题，就产生了定积分的定义.　　2．在定义中均假设，当或时，有或．　　3．定积分是一种“和”的极限值，所以是一个常数，与被积函数在积分区间有关，与积分变量用什么字母表示无关．　　4．如果被积函数在积分区间上连续，那么定积分必定存在，如无特别声明，我们总假定被积函数在积分区间上连

4、续．　　2．定积分的几何意义：　　（1）当函数时，定积分在几何上表示：由曲线、直线及轴所围成的曲边梯形（图2）的面积．即．　　（2）如果在区间，函数时，那么曲边梯形位于轴下方（图3）．在．右端的和式中，由于，，故０．从而积分，这时它等于图3所示曲边梯形面积的负值，即或Ｓ．（3）当在区间上有正有负时，积分在几何上表示图4所示的几个小曲边梯形面积的代数和（轴上方面积取正号，轴下方面积取负号）．　　二、典例分析　　例1　根据定积分的几何意义计算定积分：．　　解：由几何意义，所求定积分表示由直线及所围成图形的面积，即图中阴影部分面积．因此

5、．　　例2　利用定积分定义计算：．　　解：被积函数，在区间上连续，故可积．将区间分成等份，每个区间的长度为，在上取点，．　　于是，　　从而得到　　．　　所以．