高考数学复习点拨 对定积分的概念剖析.doc

《高考数学复习点拨 对定积分的概念剖析.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、对定积分的概念剖析学习定积分对理解中学教材是必要的，如祖日恒原理.只有学习了定积分才能更好地理解它，要想学好本部分，也需从定义学起.　　一、关于定积分的概念　　１.定积分的定义：　　如果函数在区间上连续（如图1），用分点．　　将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式．　　注意：1．定积分是一种“和”的极限，蕴含着分割、近似代替，求和、取极限的思想方法，这种思想方法来源于“计算底边在区间上，高为的曲

2、边梯形的面积”．　　①分割：将大曲边梯形分割成很多个小曲边梯形，即在区间内取个点，它们依次为，这些点把区间等分成个小区间．　　②近似代替：当分点较多，又分割的较细时，即在每个小区间上的值变化不大时，在每个小区间上任取一点，以为高，用心爱心专心为底的小矩形面积近似代替相应区间上的小曲边梯形的面积（近似代替可以有以直代曲，以匀速代变速，以恒力代变力，以圆柱代圆锥等多种方式）．　　③求和：将区间上近似代替小曲边梯形的小矩形的面积加起来，就是所求曲边梯形面积的近似值.　　④取极限：当上述分割越来越细，即分点无限增多，同时小区间的长度趋近于零时，则求和公式的极限就是曲边梯形的面积.　　许多

3、实际问题，如求体积、变力作功、变速直线运动的路程等，都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”归结成这种特殊结构的“和”的极限.抛开实际问题的具体意义，从数学结构上来考虑问题，就产生了定积分的定义.　　2．在定义中均假设，当或时，有或．　　3．定积分是一种“和”的极限值，所以是一个常数，与被积函数在积分区间有关，与积分变量用什么字母表示无关．　　4．如果被积函数在积分区间上连续，那么定积分必定存在，如无特别声明，我们总假定被积函数在积分区间上连续．　　2．定积分的几何意义：　　（1）当函数时，定积分在几何上表示：由曲线、直线及轴所围成的曲边梯形（图2）的面积．即．　　（2）如果在

4、区间，函数时，那么曲边梯形位于轴下方（图3）．在．右端的和式中，由于，，故０．从而积分，这时它等于图3所示曲边梯形面积的负值，即或Ｓ．（3）当在区间上有正有负时，积分用心爱心专心在几何上表示图4所示的几个小曲边梯形面积的代数和（轴上方面积取正号，轴下方面积取负号）．　　二、典例分析　　例1　根据定积分的几何意义计算定积分：．　　解：由几何意义，所求定积分表示由直线及所围成图形的面积，即图中阴影部分面积．因此．　　例2　利用定积分定义计算：．　　解：被积函数，在区间上连续，故可积．将区间分成等份，每个区间的长度为，在上取点，．　　于是，　　从而得到　　．　　所以．用心爱心专心