navier-stokes 方程强解的存在性

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1、Navier-Stokes方程强解的存在性∗MukhtarbayOtelbaevyInstituteofMathematicsandMathematicalModelingMESRK125PushkinSt,Almaty050010,email:otelbaevm@mail.ruISSN1682-0525.MathematicalJournal.2013.Vol13,Num4(50).译者:李植摘要本文给出了第六个千禧年大奖难题(TheMillenniumPrizeProblems)的解:证明了带有对空间变量的周期性边界条件的三

2、维Navier-Stokes问题的强解的存在性和唯一性.关键词:第六个千禧年大奖难题,Navier-Stokes方程,强解.x1引言x1.1问题简史描述不可压缩流体动力学的问题因其理论和应用上的重要性而备受广大研究者关注.这个问题涉及不可压缩黏性流体的Navier-Stokes方程的解的存在性和光滑性,在2000年中期被Clay数学研究所列为第六个千禧年大奖难题(TheMillenniumPrizeProblems)[1].在被列入千禧年大奖难题之前,极多文献已经研究了这个问题的解.因为文献数量过于庞大,我不打算简单地列举其清单

3、.依我之见,深刻的结果出现在O.A.Ladyzhenskaya[2–5]和R.Temam[6,7]的论著中.许多一流的数学家关注过这个问题,他们成功地解决了一些重要的数学问题,包括气体动力学问题.20世纪的一系列大数学家,如A.N.Kolmogorov[8],J.Leray[9,10],E.Hopf[11],J.-L.Lions[12,13],M.I.Vishik[14],V.A.Solonnikov[15]等等,都得到了重要结果.当然,这个文献清单远不完整,我也不打算完整地分析已有的文献,除非我在撰写本文时直接显式或隐式地使用

4、了其结果(见[16–49]).收稿日期:2012.01.23;最后修改:2013.12.20.yMinistryofEducationandScience,RepublicofKazakhstan1这些文献包括我本人的一些论著(可能与别人合著),以及许多哈萨克数学家的论著,他们对我始终有正面的影响.在二维情况下,O.A.Ladyzhenskaya在[2]中给出了问题的完整的解.她在[5]中对问题的现状进行了相当全面的分析,给出了已有文献的综述,提出了解决问题的一些方法.特别地,关于三维Navier-Stokes问题全局单值解的

5、基本问题被化为了关于寻找所有可能解的特殊先验估计的问题.还应当注意,存在大量错误的或不包括证明的论著,它们发表在不太知名的杂志上或者以电子版形式发表.尽管有错,这些论著仍然值得尊敬.我从1980年开始研究这个问题.尽管我(以及我的某些学生和合作者)求解Navier-Stokes方程强解问题的很多尝试都失败了,但由此产生的一些想法和技巧都被运用在我于1982年以后发表的关于非线性方程、方程近似解法和最后反问题(finalinverseproblem)的所有论著中,无论我单独署名还是与别人合著(例如,参见[16–37]).利用这个机会

6、,我想感谢M.Sadybekov教授认真阅读本文.他还改写了我简短叙述的第4节,并完全重写了第8节.他的意见对于本文最终版本的形成大有裨益.本文献给我的敬爱的老师们:数学教授T.I.Amanov,M.G.Gasymov,A.G.Kostuchenko,B.M.Levitan,P.I.Lizorkin,以及我的中学老师I.Adykeev和A.M.Panivanov.x1.2问题的提法设Q⊂R3是三维区域,Ω=(0,a)×Q,a>0.在本文中,我们研究Q是立方体的情况,其中心位于原点,边长为2π,各边分别平行于各坐标轴.Navier

7、-Stokes问题是寻求在点x∈Q和时刻t∈(0,a)的以下未知量:速度向量u(t,x)=(u1(t,x),u2(t,x),u3(t,x)),标量函数:压强p(t,x),它们满足方程组∑3∂uj∂uj∂p+uk=∆uj−+fj,(t,x)∈Ω,j=1,2,3;∂t∂xk∂xjk=1(1.1)∑3∂ukdivu≡=0,(t,x)∈Ω.∂xkk=1∑3@[这里f(t,x)=(f1(t,x),f2(t,x),f3(t,x))是外力,∆=k=1@2]xk是对空间坐标的Laplace算子,而黏度ν被不失一般性地取为1.对方程组(1.1)还

8、要补充边界条件(我们对空间坐标给出周期性边界条2件)和初始条件.不失一般性,可以认为初始条件为零:u(t,x)

9、t=0=0,x∈Q¯;(1.2)u(t,x)

10、xk=−=u(t,x)

11、xk=,p(t,x)

12、xk=−=p(t,x)

13、xk=,k=1,2,3;0