粘性系数依赖于密度的一维粘性Navier-Stokes方程组解的全局存在性.pdf

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1、第34卷第2期东北电力大学学报V01．34．No22014年4月JournalofNortheastDianliUniversityApr．，2014文章编号：1005-2992(2014)02-0087-05粘性系数依赖于密度的一维粘性NaVie卜Stokes方程组解的全局存在性刘生全，徐中海2(1．辽宁大学数学院，沈阳110036；2．东北电力大学理学院，吉林吉林132012)摘要：研究了粘性系数依赖密度的一维粘性可压缩Navier—Stokes方程组Cauchy问题，即：如果粘性系数满足()=13-a(∈(0，1])，且初始体积具有正的下界，那么

2、我们可以证明其解的全局存在性。关键词：Navier-Stokes方程组；粘性系数依赖密度；全局存在性中图分类号：O357文献标识码：ANavier-Stokes方程组一直是应用数学中比较热门的研究方向．对于粘性系数(13)=const的情况，一维粘性可压缩Navier-Stokes方程组的研究结果比较丰富。但是，对真实的流体的模型，其粘性系数是依赖于密度的(本文粘性系数依赖于密度的倒数，称之为体积)，因此对粘性系数依赖于密度的模型展开研究更具有物理意义。而且，粘性系数依赖密度会给问题的研究带来本质的困难，也正因为如此粘性依赖密度的一维粘性Navier-

3、Stokes方程组的研究工作受到数学工作者极大关注。文献[1-5]在粘性系数满足某种条件的情况下证明了Navier-Stokes方程组解的存在性。特别地，文献[5]证明了当∈11(0，÷]时自由边界问题解的存在性。本文将证明当OL∈(0，÷]时对Cauchy问题依然存在全局解。1引言本文考虑形如下的一维可压缩Navier-Stokes方程组Cauchy问题解的全局存在性：￡一U=0，u+p(，)=g(v)tt)，(e+譬)+((，))=(—兰兰。=二旦)，初始值为(v(x，0)，(，0)，(，0))=(V0()，“。()，0o(x))，ER，(2)初始

4、值满足lim(0()，“0()，0o())=(，M，)．收稿日期：2013—12—23基金项目：辽宁大学青年科研基金资助(项目编号2012LDQN01)作者简介：刘生全(1983-)，男，辽宁省鞍山市人，辽宁大学数学院讲师，博士，主要研究方向：偏微分方程88东北电力大学学报第34卷这里，0是给定的正常数，u是满足／g≥“一的正常数．未知函数v(x，t)>0，u(x，)，0(x，￡)分别表示体积，速度和绝对温度．P(，0)为压力，e(，0)为初始能量，()为粘性系数．e(，0)和P(，0)满足下面关系式：e(，0)+P(，0)=印口(，0)，e(，0)≥

5、0，No(1+0)≤e(，0)≤N(1+0)，(3)P(，)≥0，P(，0)0，当一o。时，p(，)≤Ⅳ，．≤p(，)≤一Pl，(4)，c1(1+0)≤，((，0)≤，c2(1+0)，l，c(，0)1+lK删(，0)l≤，(2(c)(1+0)，(5)其中r∈[0，2]，g≥2r+2，Ⅳ0，N，P，P：，，是给定的正常数，并且：依赖体积的下界．为了更好的描述初始条件，需要引入下面两个分段函数：r，≥1，f，≥1，()={【光滑连接，一1≤≤1，瓦()={光滑连接，一1≤≤1，一，≤一1，【u一，≤一1．本文中，我们假设初始值具有如下正则性：r0∈L(R)

6、，infv0>0，o一∈(R)，lZo一瓦∈NH2(R)，{【一．(6)00∈L(R)，inf00>0，00—0R∈爿n(R)．本文主要结果如下：定理令(。，。，0。)满足(6)．那么当粘性系数满足()=(∈(0，÷])时，对任意给定时间T>0，问题(1)，(2)，(6)存在全局解(，，0)满足f(一，“一，0—0)∈RC([0，T]，H(R))，【∈L((0，，L(R))，(M，0)∈嚣((0，，H(R))．特别地，存在只依赖初值的常数M>0使得如下结果成立：00，假设(，，0)是定义在R×(

7、0，Tj的解．如果我们证明体积在R×(0，T])上具有正的上下界，那么根据文献[3]的结果就可以证明I"=-1题(1)(2)(6)具有全局解．引理1对于解(，“，0)有下面估计式成立E(，+(u—I)So'S．+vO≤(，∈(。，．(1)⋯这里Ec，，=(詈一一ln号)+p(詈一n詈一)．引理2任取1∈[O，g]，存在一个常数C，使得J0(‘，s)ds≤C1，Jmax0(。，s)ds≤c∈(0，·(2)引理3存在一个常数C，使得C≤(，)≤C2，(，)∈R×(0，证明：(1．1)两边乘以f一1，并在区间【，+1】×(0，￡)上积分可得第2期刘生全等：粘

8、性系数依赖于密度的一维粘性Navier—Stokes方程组解的全局存在性89IX()d(()一