Hamilton—Jacobi方程的伪概周期粘性解.pdf

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1、第37卷第2期应用数学学报Vo1．37No．22014年3月ACTAMATHEMATICAEAPPLICATAESINICAMarch，2014Hamilton—Jacobi方程的伪概周期粘性解张仕林(山东财经大学数学与数量经济学院，济南250014)(E—mail：zhangshilin1981@163．com)摘要本文运用了Hamilton—Jacobi方程粘性解的比较定理及伪概周期函数的性质，证明了Hamilton—Jacobi方程伪概周期粘性解的存在唯—性．关键词Hamilton—Jacobi方程；伪

2、概周期函数；粘性解；比较定理MR(20001主题分类35B15；35F20中图分类O175．21引言本文研究Hamilton—Jacobi方程0tu+H(x，U，Du)=，(￡)，(X，t)∈Ⅳ×(1．1)时间伪概周期粘性解的存在唯一性，其中日和．厂是连续函数，且．厂是关于t的伪概周期函数．Bostan和Namah[】在2007年解决了该类方程时间周期和概周期粘性解的相关问题，Crandall和Lions[_5】证明了该类方程粘性解的唯一性和稳定性，特别是初值方程』‘【札+日(x,t,u,Du)=0，(，)∈

3、Ⅳx(0，T)，fl1l．2Z)I“(，0)=uo(x)，X∈Ⅳ、与静态方程H(x，，Du)=0，X∈R．(1．3)近来有不少关于Hamilton．Jacobi方程粘性解的文章发表【。】，本文作者也对Hamilton-Jacobi方程粘性解的问题在概周期及遥远概周期方面做了一些工作[10-12]．本文2011年6月29日收到．2013年9月26日收到修改稿国家自然科学基金(11001152)资助项目．314应用数学学报37卷伪概周期函数是比概周期函数更普通的函数，最初是由张传义在[13j中提出的，在该文献中，

4、张传义还讨论了伪概周期函数在一些微分方程中的应用，随后又有很多研究各种不同微分方程伪概周期解的文章[14-19]．本文首先证明了两个伪概周期函数的性质，随后结合Hamilton—Jacobi方程粘性解的比较定理，证明了Hamilton—Jacobi方程的伪概周期粘性解的存在唯一性．2伪概周期函数的概念和性质令是一个Banach空间，【2是的一个闭子集，()(或(【2×))是(或×)上带有上确界范数的有界连续复值函数空间．令J∈(+，碾}，c(a×)(或c())是从J×Q(或)到的带有上确界范数的有界连续函数空

5、间．设PPn()={∈()：17)jds=0)，PPo(【2×)：{∈(ftxR1I)s)【ds=。uniformlyinZ∈【2)定义2．1称函数f∈()(或(Q×))是伪概周期的，如果成立f=g+，其中9∈AP(N)(或AP(f~×))，∈PAPo(R)(或PAPo(~2×))．函数9和分别被称为函数．厂的概周期组成和遍历性扰动．通常用PAP(R)(或PAP(~×瓞))表示该类函数，的集合．定义2．2称连续函数．厂(￡)∈L(R)是遍历性的，如果存在一个常数M(I)使得对s∈1厂+s)dM(_，)一致成立

6、．引理2．1令f(t)∈()，下列结论等价：(1)f(t)是具有遍历性的；(21f(t+s)dt=M(f)对s∈R一致成立；，(引1I』lUf(t+s)dt=M(I)对s∈一致成立；(41f(s—t)dt=M(f)对s∈一致成立．定义2．3J中的一个闭子集c被称为是R中的一个遍历零集，如果当t一。。时有m(n[a，t])／(2t)一0，其中当J=+时a=0，当I，=时a=一t，m是上的Lebesgue测度．在计算的情况下，∈(X)属于PA()当且仅当对E>0，集合=f∈J：()l￡)是J中的一个遍历零集．定理

7、2．I函数f∈c(Z)是伪概周期的当且仅当对任意￡>0，存在>0，一个2期张仕林：Hamilton—J~cobi方程的伪概周期粘性解315相对稠密子集和中的—个遍历子集，使得f(t)一f(t+r)lJ<￡(7．∈，t，t+7_∈J＼G)，}ffifff”f(t)一f(t)ll<(，t∈J＼，It～tl<5)成立．下面我们证明伪概周期函数的两个性质性质2·l若，()是伪概周期函数，则极限亭+f(t)dt对于n∈R是一致存在的，且该极限值与n无关，称为f的平均值，记作(，)．证因为f(t)∈PAP(R)，则有f=

8、g+，其中g∈AP(I~)，∈PAPo(R)．于是有a+Ta+T9(t)dt+lira1f／()dt，T．1ira1fa“+Tt，()dt=T—lim+。。1fi。一．⋯。又由一l(￡)l()l()1，贝0lim1一TJ~a。+l(t)ldt