具有障碍的二阶 Hamilton 系统的周期解.pdf

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1、第25卷第1期湖南理工学院学报(自然科学版)Vol.25No.12012年3月JournalofHunanInstituteofScienceandTechnology(NaturalSciences)Mar.2012具有障碍的二阶Hamilton系统的周期解王少敏,熊明(大理学院数学与计算机学院,云南大理671003)-+摘要:二阶Hamilton系统:-=&&xf(tx,)满足初始条件x(tt)≥0,"Ρ,且当xt()0=时,x&&(t)=-xt(),在一定000条件下，等价于系统ì-=&&xf(t,

2、xx

3、)sgn(),(Ⅰ)íîx(0)-x(2

4、p)=xx&&(0)-(2p=)0,或ì-=&&xf(t,

5、xx

6、)sgn(),í(Ⅱ)îx(0)+x(2p)=xx&&(0)+(2p=)0.本文使用非光滑情形下的一个新临界点定理得到系统(I)或(II)的一个周期解,进而得到二阶Hamilton系统的一个满足所述初始条件的解的存在性定理.关键词:二阶系统;周期解;临界点中图分类号:O177.25文献标识码:A文章编号:1672-5298(2012)01-0012-04ExistenceofPeriodicSolutionforSecondOrderHamiltonianSystemswithObstac

7、lesWANGShao-min,XIONGMing(DepartmentofMathematicsandComputerScience,DaliUniversity,Dali671003,China)Abstract:ThemainpurposeofthisdissertationistostudytheexistenceofperiodicsolutionsforthefollowingsecondorderHamiltoniansystems:-=&&xf(tx,)Satisfyingthefollowingconditions:x(tt)≥0,"Î

8、¡-+x&&(t)=-xt(),ifxt()0=000Sinceinsomeconditions,theabovesystemsareequivalenttothefollowingsystems:ì-=&&xf(t,

9、xx

10、)sgn(),(Ⅰ)íîx(0)-x(2p)=xx&&(0)-(2p=)0,orì-=&&xf(t,

11、xx

12、)sgn(),í(Ⅱ)îx(0)+x(2p)=xx&&(0)+(2p=)0.So,inthisdissertation,weobtainaexistencetheoremofthesecondorderHamiltonians

13、ystemsbyresearchingtheperiodicsolutionsofsystem(I)or(II)viaanewcritcalpointstheoremoflocallyLipschitzfunctions.Keywords:secondorderHamiltoniansystem;periodicsolution;criticalpoint1引言和主要结果+设f:¡´®¡¡是关于t为2p周期的连续函数.考察以下系统-=&&xf(tx,)(1)收稿日期:2011-11-15基金项目:国家自然科学基金项目(10561011);云南省教育厅科学

14、研究基金项目(09Y0367)作者简介:王少敏(1975−),女,云南大理人,硕士,大理学院数学与计算机学院副教授.主要研究方向:非线性泛函分析第1期王少敏,等:具有障碍的二阶Hamilton系统的周期解13-+-+满足初始条件x(tt)≥0,Ρ,且当时x(t)=0,x&&(t)=-xt().其中x&(t)==limx&(t),x&&(t)limxt().00000t®t0-00tt®+o满足上述初始条件的2p周期解称为(1)的2p反弹周期解.其物理意义是粒子在碰到障碍前一瞬间的速度与碰撞后一瞬间的速度大小相等,方向相反.这样的碰撞在物理上称为完全弹性

15、碰撞.由于具有障碍的二阶系统的周期解的存在性问题有着深刻的物理背景,因而一直是倍受关注的研究课题.在近十年中,[4~11]已经有许多数学工作者考虑过(1)的反弹周期解和拟周期解的存在性.但是,他们所使用的方法都不[1]+是变分法.蒋美跃使用变分法研究了-&&x=p(t)++a(t)xxo(),x®0的反弹周期解(其中ap,是连续周期函数且pt()0>),获得一个2p反弹周期解序列{x}.这是第一篇使用变分法研究问题(1)的文章.j本文使用非光滑情形下新的临界点定理来研究问题(1)的2p反弹周期解,得到一个解的存在定理,同时,也给出一些新的可解性条件.

16、

17、

18、x记F(t,

19、x

20、)=òf(t,ss)d.本文的主要结果为0f(t,xx)ft(