非周期的高维二阶奇异Hamilton系统的同宿轨道

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1、中央民族大学硕士学位论文非周期的高维二阶奇异Hamilton系统的同宿轨道姓名：钟仕增申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：李成岳20050601摘要Hamilton系统理论是既经典又现代的研究领域，可以从不同的角度进行研究，变分方法便是其中之一．Hamilton系统是具有变分结构的系统，求Hamilton系统的解可转化为寻找其对应泛函的临界点．正囡于此，Hamilton系统研究与最近20多年来飞速发展的大范围变分理论即临界点理论相结合，取得了巨大的进展．特别是在应用变分方法寻找Hamilton系统的周期解、同宿轨道解、异宿轨道解和其

2、它形式的轨道解方面，取得了许多非常深刻的结果．本论文主要研究非周期的高维二阶奇异Hamilton系统百+圪(f，q)=0(HS2)的同宿轨道．这里g=(g，，吼，¨．，吼)，v(t，g)：RxR～{g)寸R是一个奇异的位势函数，e≠0，刀>2．当V(t，可)满足强力条件，且具有唯一最大值时，并假设V(t，g)满足：(_)V∈C2(R×R～{e}，R)，其中e∈R～{o}．froV(t，g)<0，t∈R，q∈R”＼{O，P}：v(t，o)=O,t∈R，且liraV(t，口)=旷<0关于f∈R一致成立．(屹)limV(t，g)=一∞，关于t∈

3、R一致成立．(■)存在e的邻域W[科和函数U∈C1(默＼p}，R)满足u(g)—'+o。，(g—'P)；一v(t，q)≥Iu’(g)12，Vq∈W＼{P}，，∈R．(以)存在一个函数矽(g)∈c(R～p})和常数m>o，M>0满足roW(q)≤一V(t，q)≤MW(q)，t／q∈R”＼{P)，t∈R．(％)吃(f，0)是负定的，VtR．(■)存在函数卢(f)：R斗R及常数r>0，满足当Jq≥T时，只要o<邮≤刖，g托就有一(嘶鼋)'g)>o；藏∥(f)=+o。t则(珊2)至少拥有一条非平凡的同宿轨道，即满足g(f)，口(f)斗0(f一±m

4、)．基本思路是对每个自然数N21，考虑逼近问题：{猢+巧，掣黧∈∽忉(HS2)。Ig(一忉=g(^『)=0“(HS2)，的解q，(r)将作为泛函^(g)的临界点而得到，若干一致性的估计将保证g-Ⅳ(f)的某予列收敛到(王心2)的一条同宿轨道，然后证明非平凡性，则证明T(HS2)拥有一条非平凡的同宿轨道．关键词Hamiiton系统，强力条件，同宿轨道ABSTRACTHamiltoniansystemtheoryisbothclassicalandmodemresearcharea，whichisstudiedbydifferentmetho

5、ds．Inthispaper，weusevariationalmethodsinceHamiltoniansystemhasavariationalstructure．ThesolutionsofHamiltoniansystemwillbeobtainedascriticalpointofthecorrespondingfunctional．Duringthepasttwentyyearstherehasbeenagreatdealofprogressintheuseofmethodsfromthecalculusofvariation

6、stofindperiodic，homoclinic，heteroclinic，andotherkindsoforbitsforHamiltoniansystemsInthispaper，theexistenceofnontrivialhomoclinicorbitsofHarniltoniansystemswithoutperiodicity茸+圪O，口)=O(HS2)isproved，whereq=(gl，92，⋯．，q。)，n>2；V(t，g)：RxR”＼{e)斗Risapotentialwithasingularity，i．e．-

7、Y(t，q)_00，aSq斗e．OurmainassumptionsareGordon--StrongForcecondionand．theuniquenessofaglobalmaximumofV(t，q)andassumethatv(t，q)satisfies(_)V∈C2(RxR4＼{8}，R)，foralle∈R“、{O}(％)v(t，g)

8、l㈣(匕)ThereisaneighbourhoodwcR”ofeandafunctionU∈C’(R～和}，R)suchthatu(g)一佃，(g—e)；一V(t，g)≥p。(g)12，Vq