Michelson系统异宿轨道的同伦分析方法

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1、DynamicalSystemsandControl动力系统与控制,2014,3,29-37PublishedOnlineJuly2014inHans.http://www.hanspub.org/journal/dschttp://dx.doi.org/10.12677/dsc.2014.33005HomotopyAnalysisMethodforHeterclinicOrbitofMichelsonSystemWankaiLiu,YouhuaQian*CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEn

2、gineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua*Email:qyh2004@zjnu.cnthththReceived:May25,2014;revised:Jun.4,2014;accepted:Jun.12,2014Copyright©2014byauthorsandHansPublishersInc.ThisworkislicensedundertheCreativeCommonsAttributionInternationalLicense(CCBY).http://creativecommons.

3、org/licenses/by/4.0/AbstractInthispaper,weusethehomotopyanalysismethod(HAM)toobtaintheanalyticapproximationofheterclinicorbitinMichelsonsystem.Comparisonsaremadebetweentheresultsofthepro-posedmethodandexactsolutions.TheresultsshowthattheHAMisaneffectiveandpracticaltechnique

4、ofanalyticapproximationfortheheterclinicorbit.Theproofofconvergencetheoremsforthepresentmethodiselucidatedaswell.KeywordsHomotopyAnalysisMethod,HeterclinicOrbit,ConvergenceTheoremsMichelson系统异宿轨道的同伦分析方法*刘万凯，钱有华浙江师范大学数理信息学院，金华*Email:qyh2004@zjnu.cn收稿日期：2014年5月25日；修回日期：2014年6

5、月4日；录用日期：2014年6月12日*通讯作者。29Michelson系统异宿轨道的同伦分析方法摘要本文用同伦分析方法给出了Michelson系统异宿轨道的解析近似，并对该方法所得到的近似解析解与精确解之间进行了比较。结果表明，对于异宿轨道的近似解析解，同伦分析方法是有效且实用的。此外，还给出了本方法中收敛定理的证明。关键词同伦分析方法，异宿轨道，收敛定理1.引言同伦分析方法是研究非线性问题的重要工具[1]。在求解非线性问题的过程中，若对系统的初值猜测，辅助参数以及辅助函数的选择合理，就可以得到系统的解析近似解。本文考虑如下的系统：xx

6、=12xx=(1.1)2322xcxx=−−2321这里的点表示对t求导数。该系统是在研究Kuramoto-Sivashinsky方程的行波解中所产生的12uuu+++=u0(1.2)txxxxxxx2其中参数c与波速度有关。Michelson研究了系统(1.1)[2]，所以现在把它称为Michelson系统。当c减小时系统(1.1)会出现“Cocoon”分叉[2]-[4]。Kevin和John对参数c趋近零的Michelson系统进行了渐进分析，并与数值结果进行了比较[5]。Lamb等证明了迈克尔逊系统有可数无穷多异宿环，可数无

7、穷多个同宿环和双曲基集[6]。当c=0，系统(1.1)在原点存在Hopf分叉[5][7]。在无限维系统中，偏微分方程(1.2)一般作为研究混沌现象的典型范例[8]。本文用同伦分析方法讨论Michelson系统的异宿轨道，其中c=0.84952[9]，并对42阶解析近似与精确解进行了对比。接下来，第二部分给出了求解多自由度常微分方程的同伦分析方法。第三部分的数值模拟验证了该方法的准确性和精确性。此外，在第四部分给出了该方法收敛定理的证明。最后对文章进行了总结。2.同伦分析方法考虑多自由度非线性动力学系统MqGq++=KqFqqt(,,)

8、(2.1)其中，q是n维向量，q上的点表示对t求导，M，G和K是阶实矩阵，F是q，q和t的非线性向量函数。若Fqqt(,,)≡0，则方程(2.1)是自治动力系统