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1、第24卷第2期华侨大学学报(自然科学版DVOl.24NO.22003年4月JOurnalOf~uagiaOUniversity(NaturalScienceDApr.2003文章编号1000-5013(2003D02-0119-06一类具有时滞的微分系统的周期解方聪娜王全义(华侨大学数学系福建泉州362011D摘要研究一类具有分布滞量的高维周期微分系统周期解的存在性和唯一性.利用不动点方法得到该类系统周期解的存在性和唯一性的一些新结果.关键词微分系统周期解存在性唯一性中图分类号0175.1文献标识码A众所周知微分系统的周期解理论具有非常重要的理论意义和实际意义.文1
2、~4J研究了周期微分系统x/(tD=A(tx(tDDx(tD+f(tx(t-1(tDDD(1D得到了一些保证系统(1D的周期解存在的充分性条件.最近文5J又研究了具有分布滞量的微分系统0x/(tD=A(tDx(tD+f(tsx(t+sDDds(2D-1的周期解的存在性和全局吸引性问题.本文将研究比系统(2D更为广泛的一类具有时滞的周期微分系统即0x/(tD=A(tx(tDDx(tD+f(tsx(t+sDDds.(3D-O式(3D的(txDER>RnnA(txD是n>n连续函数矩阵(tsxDER>(-O0]>Rf(tsxD0是n维连续函数向量.f(tsxDds关于(t
3、xDER1>D1一致收敛其中R1D1分别为-On中的任一紧集.对V(txDER>RnRRA(t+TxD=A(txDV(tsxDER>(-O0]>nRf(t+TsxD=f(tsxDT>0为常数.利用不动点方法得到了系统(3DT-周期解的存在性和唯一性的一些新结果.1一些引理在本文中我们恒设P为n阶正定对称常数方阵并以1分别表示P的最大和最小M1m的特征根.收稿日期2002-11-24作者简介方聪娜(1977-D女硕士研究生基金项目国务院侨务办公室科研基金资助项目(01A202D12O华侨大学学报(自然科学版)2OO3年定义1设g(t)是R上连续的T-周期函数,则g+(
4、t)=1[g(t)+Ig(t)I]=mGx(g(t),2-1O)2O,g(t)=[g(t)-Ig(t)I]=min(g(t),O){O都是R上连续的T-周期函数且g(t)=2+-g(t)+g(t).现对n阶正定对称常数方阵P和g(t)定义如下函数.+-g(t)g(t)定义2L[t,-g,P]=-[+],可见L[t,-g,P]是R上连续的T-周期函数.:M:mPA(t,x)+A(t,x)P易知对称方阵的n个特征根/也是t的连续T-j(t,x)(j=1,2,~,n)2周期函数,这里A(t,x)为A(t,x)的转置.记/m(t,x)=/min[PA(t,x)]=min{/
5、j(t,x)Ij=1,2,~,n},于是/是t的连续T-周期函数.m(t,x)引理1E3J设f(t),g(t)都是R上连续的T-周期函数,如果VtER,f(t){g(t),则有(i)++--f(t){g(t),f(t){g(t),(ii)L[t,-f,P]2L[t,-g,P].特别地,若存在R上连续的T-周期函数c(t),使对V(t,x)ER>Rn有/那么,由引理1即知必有min[PA(t,x)]2c(t).++--/min[PA(t,x)]2c(t),/min[PA(t,x)]2c(t),L[t,-/min[PA(t,x)],P]{L[t,-c,P].考虑如下周期
6、系统x/(t)=A(t)x(t)()和x/(t)=A(t)x(t)+f(t).(5)其中A(t)是R上n>n连续函数矩阵,而f(t)是R上n维连续函数向量,且A(t+T)=A(t),f(t+T)=f(t),记[PA(t)+A(t)P]/2的n个特征根/1(t),/2(t),~,/n(t)的最小特征根为/m(t).引理2E1J设X(t)是式()的基本解矩阵,则有s-1:MX(t)X(s){-exp(L[,-/m,P]d),t{s.~:mt引理3E1J设c(t)是连续的T-周期函数,则t+TTc()d=c()d.tOT引理4E1J对于系统(5),若/满足k=exp(m(
7、t)L[,-/m,P]d)1,则系统(5)存在O+O唯一的T-周期解x(t)=--1X(t)X(s)f(s)ds.t记C(R,Rnn为n维连续函数向量},B={VIV(t)EC(R,Rn)={f(t)If=R-R)且V(t+T)=V(t)},则B在范数V=SUp{V(t)}下是一个BGnGGh空间.O{t{T2主要结果定理1如果存在n阶正定对称常数方阵P及R上连续的T-周期函数c并使得(i)1(t),T对V(t,x)ER>Rn,/min[PA(t,x)]2c1(t)且k1=exp(L[,-c1,P]d)1;(ii)lim1~On-+On第2期方聪娜等,一类具有时
