一类具时滞高阶泛函微分方程的周期解-论文.pdf

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1、2014年7月四川师范大学学报(自然科学版)July，2014第37卷第4期JournalofSichuanNormalUniversity(NaturalScience)Vo1．37．No．4一类具时滞高阶泛函微分方程的周期解汪小明(上饶师范学院数学与计算机科学学院，江西上饶334001)摘要：利用重合度理论和不等式分析技巧，获得一类具时滞高阶泛函微分方程‘’+fl(t))+h((t一))(一)十g(，(t—r(t)))=P(t)周期解存在的充分性条件，推广和改进了已有文献的相关结果．关键词：高阶；周期解；时滞

2、；重合度中图分类号：O175．12文献标志码：A文章编号：1001—8395(2014)04—0519—05doi：10．3969／j．issn．1001—8395．2014．04．0151预备知识Y={()∈C(R，R)：(t+2)=(t)}，其范数定义为l0=Ix(t)I，这里随着微分方程应用的不断推广及理论研究的JI*=max{I()l}，]逐渐深入，近年来人们对时滞微分方程的研究非常I‘l=ax{I‘()I}，活跃¨I2，特别是关于时滞微分方程周期解的存在t∈10，21r一j性研究，受到很多数学研究工作者

3、的重视，并出现k∈{1，2，⋯，2n一1}．了许多较好的研究成果．如文献[8]研究一类显然，(，ll·cl)和(Y，ll·I『。)均为Banach空Rayleigh方程间．现分别定义算子￡和Ⅳ：+／())+g((t一丁(t)))=：nC(R，R)Y，(￡)‘()，P()=P(t+21T)(1)N：X—Y，(t)I--+一／'((t))一2周期解的存在性；随后，文献[10]进一步研究了h(x(一Or))(t一)一g(t，(t—r(t)))+P(t)，方程(1)，改进文献[8]的相关结果．他们都采用重即有合度理论获得

4、了很好的结果．本文将上述方法加以Lx=叫()，拓广，利用重合度理论和一些不等式分析技巧，讨Nx=一())一h((t—Or))(t—Or)一论一类具有时滞的2n阶微分方程g(t，(一下(t)))+P(t)，(3)+())+h((t—Or))(t—Or)+2盯贝0KerL=R，ImL={∈y：f(t)dt=0}．同时g(￡，(t—r()))=P(t)(2)J0的周期解的存在性，其中为常数、h、g、下、p均分定义投影算子别关于各自的变元在R上连续满足f(0)=0，且P：KerL，I--+(0)，1，2仃1广2丌()(f

5、)均为27r周期函数，JP()dt=0，而Q：Y—Y／ImL，lf()dt，二JO二1TJ0且g(t，)是关于t的一个27r周期函数．于是有ImP=KerL，KerQ=ImL，从而是指标为为行文方便，下文引入记号：零的Fredholm算子．对中任意有界开集，容易X={()∈C一(R，R)：(+2盯)=()}，证明Ⅳ在Y2CX上一紧．其范数定义为由(3)式知，对V∈，易知算子方程=IlII。=max{I(t)I，I(t)I，ANx，A∈(0，1)等价于下列方程I”(t)l，⋯，lu(t)l}；‘+A厂(())+Ah

6、(x(一or))(￡一)+收稿日期：2012—12—05基金项目：江西省自然科学青年基金(20132BAB211008)资助项目作者简介：汪小明(1978一)，男，副教授，主要从事常微分方程与动力系统的研究，E—mail：wxmsuda03@163．com520四川师范大学学报(自然科学版)第37卷Ag(t，戈(t一丁()))=Ap()．(4)I(t0一r(t0))l≤ll+d，且口(7)式得证．引理1设和y是Banach空间，CX是由于对Vt∈[，+2]有有界开集．L：DomLc—y为指标为0的Fredholm

7、I(t)I：l()+Is)dsI≤算子，Ⅳ：l，在上是一紧的．若下列条件满足：(i)Lx≠A，V∈KerLn012，VA∈(0，1)；f()f+ff(s)Ids，(ii)QNx≠0，V∈KerLna；和(iii)Brouwer度deg(QⅣ，nKerL，0)≠0，则方程Lx=Nx在中至少存在一个解．I(￡)I=l(+2订)+J戈(s)dsl≤砖也2主要结果与证明l()l+l—J(s)I≤l()l+Jl(s)lds．t于是可得定理1如果存在常数ri>0，H>0，d>0，K>。*=。()maxI()l≤0以及一个连续

8、函数r(t)1>0，使得]f](A1)If(Y)I≤r1lyI+K，V∈R；max㈤I+㈤≤(A2)xg(t，)>0且lg(t，)I>K+r1lI，Vt∈R，ll≥d；+d+÷川s≤(A3)l()l≤日，V∈R；d+(1r+1)Il．(8)(A4)lim≤r2()，由假设4订[，l+(百+1)Jr2I](2霄)2n-2<1知，存那么当4盯[r1+(盯+1)lr2l](2叮