一类迭代泛函微分方程的解析解

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1、山东大学硕士学位论文中文摘要一类迭代泛函微分方程的解析解基础数学专业研究生张劲指导教师司建国非线性科学已成为当今基础科学研究的一个热点，其中迭代动力系统扮演着十分重要的角色。对迭代动力系统的研究必然涉及迭代泛函微分方程问题．迭代泛函微分方程是一种具有复杂偏差变元的泛函方程，其时滞不仅依赖于时间而且依赖于状态或者依赖于状态的导数甚至状态的高阶导数．这类方程是于已经形成了系统理论[1】的传统的泛函微分方程(滞后型，中立型与超前型)不同的新型方程．动力系统就是要研究一个决定性系统的状态变量随时间变化的规律．根据系统变化的规律

2、可分为由微分方程描述的连续动力系统和由映射迭代揭示的离散动力系统．许多物理、力学、生物学以及天文学问题的数学模型都是有连续的和离散的迭代过程描述的．动力系统的许多问题都可以化为迭代函数方程或迭代泛函微分方程．例如，描述经典电动力学的二体问题、一些人口模型、日用品价格模型以及血细胞生产模型都涉及到迭代泛函微分方程．本文将研究一种类型的迭代泛函微分方程的解析解的存在性和解的显式结构．本文的第一章介绍迭代与动力系统，迭代泛函微分方程的有关概念和发展情况，以及为第二章的证明提供必要的理论基础．迭代泛函微分方程与常微分方程有很大

3、的不同．由于未知函微迭代的出现，常微分方程中经典的存在性定理不能使用．迭代微分方程是否有类似与常微分方程的存在性与连续依赖性定理是一个需要回答的问题．本文的第二章对一类二阶迭代微分方程解析解的存在性和解的结构进行了研究．它是首先利用SchrOder变换把迭代泛函微分方程化为不含未知函微迭代的非线性泛函微分方程，再利用优级数方法得山东大学硕士学位论文到解析解的存在性，进而还利用Schr6der变换、幂级数理论研究这类具有相当广泛性的非线性迭代函数方程解析解的存在性问题．在方法上要求其解在不动点处的特征值不在单位圆周上或在

4、单位圆周上满足Diophantinc条件．本章要解决的解析解问题也涉及在不动点处的特征值的分布．当特征值处于单位圆周上时收敛性是很复杂的，我们不仅在Diophantine条件下(特征值远离单位根)证明形式解的存在性，而且在非Diophantine条件下(收敛性等同于著名的“小数问题")也取得了一些进展．在本章我们突破了Diophantine条件的限制，在五是单位根的情形，给出了解析解结果．在这一章，我们借鉴前辈的经验，同样利用Banach不动点定理和优级数法讨论了一类迭代微分方程解析解的存在性及其显式解．虽然，我们与前

5、人的方法相同，但我们的创新点是尽一步弱化了条件，在比Diophantine条件更弱的Brjuno条件下进行了研究，并得到了较为完整的结果．关键词：迭代，迭代泛函微分方程，解析解，Diophantine条件，Brjuno条件2山东大学硕士学位论文AbstraotAnaIytiCSoIutionsofOne—kindlteratiVeFunctionaIEquationsMajor：BasicMathematicsGraduateStudent：ZhangJinSupervisor：SiJianguoNonlinearSC

6、ienceiSoneofthemostimportanttopiCSintoday’SSCience．Thetheoryofiterativedynamicalsystemsinv01vesiterativefunctionaldifferentialequaptions．Theyaredifferentialequaptionswithdeviatingargumentoftheunkownfunction，andthedelayfunctiondependsnotonlyontheargumentoftheunko

7、wnfunction，butalSOstateorstatederivative，evenhigherorderderivatiyes．Suchequaptionsarekindsofnewfunct—ionsquitedifferentfromtheusualdifferentialequaptions(R—etaredFDE、NeutralFDE、AdvancedFDE)whichformedasystemictheory．ThepurposeofdynamicalsystemtheoryiStostudyrule

8、sofchangeinstatewhichdepensontime．Usuallytherearetwobasicformsofdynamicalsystem：continuousdynamicalsystemsd—escribedbydifferentialequaptionsanddiscretedynamicalsys—·t