关于一类迭代泛函微分方程解析解的.研究

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1、山东大学硕士学位论文Wf”(x)ZCE(惕仪)符号说明1(x)的刀次迭代整数集复数域与刀，仅有关的函数与刀，仅伺天阴幽双原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：至堡丛笙El期：翌翌：丝竺关于学位论文使用授权的声明本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电

2、子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。(保密论文在解密后应遵守此规定)论文作者签名：弛垫4三导师签名：益整日期：丝望』竺，圭兰山东大学硕士学位论文第一章引言我们常常把一些相互联系并不断变化发展的事物称作一个系统．这些事物，既可以是自然科学中的某些物质，也可以是社会客体和组织等抽象的事物．一个系统如果其历史和未来完全由某一时刻的状态所确定，或者说只要知道它在某一时刻的状态，就能准确的预测它的未来的命运并能回溯它历史发照过程，则称之为决定

3、性系统。动力系统就是要研究一个决定性系统的状态变量随时间变化的规律．根据系统变化的规律可分为由微分方程描述的连续动力系统和由映射迭代揭示的离散动力系统．连续动力系统以经典力学为背景，其历史可追溯到19世纪末期，法国数学家亨利·庞加莱(HenriPoincar6)在1881年起的若干年里，开始了对常微分方程定性理论的研究，并创立了微分方程几何理论，其讨论的课题(如稳定性、周期轨道的存在及回归性等)以及所用研究方法的着眼点，即为后来所说的动力系统这一数学分支的创始．而对以迭代为背景的离散动力系统的研究则始于一百多年以前，由数学家E．Schr5der、N．H

4、．Abel、B．Babbage等人创立的迭代论．G．D．伯克霍夫从1912年起的若干年里，以三体问题为背景，扩展了动力系统的研究，包括他得出的遍历性定理。在他们关心的天体力学或哈密顿系统的领域中，多年后出现了以太阳系稳定性为背景的柯尔莫哥洛夫一阿诺尔德一莫泽扭转定理．从1931年起的若干年时间里，以A．A。马尔可夫总结伯克霍夫理论，正式提出动力系统的抽象概念为开端，苏联学者进一步推动了动力系统理论的发展．在近代自然科学如物理学、化学、天文学、力学等学科的关注和推动下，动力系统理论，尤其是关于迭代动力系统的理论发展十分迅速，取得了一些重大发现，如关于周期

5、性的Sharkovsky序、关于分岔的Feigenbaum现象、关于运动复杂性的Smale马蹄等，所有这些都极大的促进了动力系统的发展．大量的物理、力学、生物学以及天文学问题的数学模型都是有连续的和离散的迭代过程描述的．因此，研究由微分方程描述的连续运动和映射迭代描述的离散运动都是现代动力系统的重要课题．许多惊人的发现都是通过对映射迭代的研究而产生的．例如，作为20世纪最重要的成就之一的KAM理论，其主要方法就是映射的迭代．迭代函数方程与迭代泛函微分方程都是映射迭代的等量形式．在自然界山东大学硕士学位论文中，许多复杂的现象是由迭代函数方程与迭代泛函微分

6、方程描述的．例如，在离散动力系统中研究映射的倍周期分岔时，描述倍周期分岔的普适性的具体表现就是重正化群方程，即费根鲍姆(Feigenbaum)函数方程：g(x)=一g[g(一言)]，g(。)=·，这就是一个迭代函数方程．微分方程中的不变流行，Hamiiton系统中的不变环面和不变曲线，都可归结为对迭代函数方程的研究．再例如，在研究描述经典电动力学中的二体问题，研究与遗传现象密切相关的生物学问题都涉及到迭代泛函微分方程．鉴于迭代函数方程与迭代泛函微分方程在理论上和应用上的重要性，本文作者的研究主要在迭代泛函微分方程的定性理论方面展开工作．§1．1迭代与动

7、力系统迭代就是同一种操作或运算的多次重复，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，例如乘法可以看作是加法的迭代．迭代不仅是数学，也是自然界和人类社会中普遍存在的现象，许多实际问题的数学模型都是由连续的或离散的迭代过程描述的，如流体的渗流、生物体的生长、人口预测等等都包含了迭代现象．设X是一个集合，厂和g是定义在X上的自映射，厂。g表示映射厂和g的复合，即(fog)(x)=／(g(x))，x∈x由此可得到迭代的定义定义1．1．1设f：Xt--专．X是集合X到自身的一个映射，记f”(x)=厂。f”一1X)，fo(x)=x．其中以为正整数，称厂”(x)为S(x

8、)的刀次迭代，并称门为f”的迭代指数．从定义可见，尸=id，f朋。f”=f肼+”，2山东大学硕