一类四阶非线性泛函微分方程的周期解

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1、一类四阶非线性泛函微分方程的周期解曾力，周宗福（安微大学数学科学学院，合肥市，230031）摘要：利用重合度理论研究一类泛函微分方程u⑷-pit-h(uf(t))-g(u(t—r(O)=e(t)周期解的存在性（,得到了该方程存在r（r>0）周期解的充分条件（关键词：非线性泛函微分方程；重合度；周期解；中图分类号：0175.12文献标志码:APeriodicsolutionsofsomefourth-ordernonlinearfunctionsdifferentialequationsZENGL

2、i,ZhouZongFu(DepartmentofMathematicSciences,AnHuiUniversity,HeFei,230031’China)Abstract:Inthispaper,usingMawhirTscoincidencedegreetheory.weobtainexistenceresultsconcerningT-periodicsolutionsoffourth-orderdifferentialequationsofthetype况⑷_pif-h(ur(t))-

3、g(u(t-=e(t),Keywords:nonlinearfunctionsdifferentialequations；coincidencedegree；periodicsolution；0引言及主要结果许多文献如[1],[2]研究了四阶时滞微分方程解的稳定性，研究四阶泛函微分方程边值问题的论文也不少如[3],14J,而对四阶泛函微分方程周期解的存在性的研究却相对较少，本文研究了如下泛函微分方程u⑷-pif--g（u（t-=e（t）（1）的T周期解存在性，其中pwR,都是定义在上的实连续函数

4、，厂和幺都以T为周期，/2（0）=0且「幺⑴duo,本文采用重合度理论得J（）到了方程（1）至少存在一个T〉0周期解的充分性定理。如下：定理1如果存在正数K,D,H使得i）

5、/z（w）

6、0且g(u)>K当u>D.ueR时;iii)g(u)5H当u5—D,VwgR时;则当〃>-（%尸时方程（1）至少存在一个T周期解。

7、0呈金项目及作者注：）1主要结果的证明（

8、t匕处有删』）

9、此处有删去）为了证明主要结果，我们将用到下列一些标符,（此处有删去）用邙表示Banach空间C带=

10、{mgCm(R,R):u(t)=w(r+T),Vre/?}'M家门然科学基金（10771001）安徽省教育厅科研基金重点项H（KJ2009A005Z）,安徽大学人才队伍建设项H。曾力（I985-）江西赣州,在读硕士，研究方向:泛函微分方程。定义范数IIMI(加k=0"时—M广醐1刚・引理屮

11、设X,Y为Banach空间，L：DoMDuXtY是指标为零的f[h{ut)+g(u(t-r(r))]c/r=0(5)J()由积分中值定理可知，存在T],使得/2(0©)=—g(u@—讯歹)))(6)下面将证

12、明存在/*g[0,T],使得Fredholm算子，P：XTX,Q；Y^Y是连续的投影算子，使得Im(P)=Ker(L),并且Ker(Q)=Im(L);J:Im©)tKer(L)是线性同胚映射；G是X屮的有界开集，&厂(厶)cGh0,N：GtY是L-紧的，假设(i)LuANu.Ag(0,1),VwgDomLr^dQ.;(ii)QNuhO,/ugA^?r(L)n3Q;(iii)deg(丿QN爲g°cK少(厶),0)H0,(7)假设”(g—H印〉D由胆理1的条件

13、i),ii)和式(6)可得Kv

14、g(

15、临-则)"=(勿

16、w(r)

17、=”-

18、屮)J®“3一書”⑷⑴比(心1,2,3)(3)(此处有删)证明定理1考察方程u⑷一"『一羽(/(/))&(/))=〃(/)(4)这里2G(0,1)o设u(t)ec

19、是方程(

20、4)的任一T周期解，将方程(4)两边同时从0到T积分得[[-/z(^(r)-^(w(r-r(z))^=OoB

21、J又因u(t)=况(门+再结合式(7)有比(/j+^us)dt5”冋+0

22、"($)

23、1>)»+吨叭讲)由于I的任意性，故

24、«(0

25、<5j。dt1/2u(t)+u(t)dt

26、]D+(TVf/%)([：ut)2dt)[,2从而(9)(10)「u(t)h(u(t))di

27、g(M-如)0