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《一类具有时滞的细胞繁殖模型的正周期解的存在性_周刚.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第23卷第1期海军航空工程学院学报Vol.23No.12008年1月JournalofNavalAeronauticalandAstronauticalUniversityJan.2008文章编号：1673−1522（2008）01-0112−03一类具有时滞的细胞繁殖模型的正周期解的存在性周刚，时宝，盖明久，杨树杰（海军航空工程学院应用数学研究所，山东烟台264001）−r(t)y(t−τ(t))摘要：研究了一类血红细胞生存模型的时滞微分方程y"(t)=−a(t)y(t)+b(t)e，t≥0的正周期解的存在性，给出其存在的
2、充分条件。关键词：周期解；存在性；迭合度中图分类号：O175文献标志码：A*数，τ=maxτ(t)>0。0引言t∈[0,T][1]1一些符号与引理Wazewska-Czyzewska和Lasota为了描述一类血红细胞繁殖模型，提出了下列非线性时滞微分方设X，Z为赋范空间，L:DomL⊂X→Z是一程：个线性算子。如果dimkerL=codinImL<∞并且−rx(t−τ)x"(t)=−µx(t)+Pe,t≥0，(1)ImL在Z中是闭集，则称L是指标为零的Fredholm式中：µ∈(0,1)；P,r,τ∈(0,∞)；x(t)表示
3、t时刻血算子。红细胞的数量；µ表示血红细胞的死亡概率；P和设P:X→X,Q:Z→Z为满足ImP=kerL，r表示单位时间内血红细胞的产生率，它们均是正kerQ=ImL=Im(I−Q)的连续投影。显然，的常数；τ表示产生一个血红细胞所需要的时间。L:DomL∩kerP→ImL为一一对应的且它的逆映[2]最近，Li和Wang推广了式(1)，研究了下列射为K:ImL→DomL∩kerP。P时滞微分方程设Ω是X中的一个有界开集，N:Ω→Z是一−r(t)x(t−τ(t))x"(t)=−µ(t)x(t)+P(t)e,t≥0。(2)个连续
4、映射，如果QN(Ω)有界且++这里，µ∈C(R,(0,1))，P,r∈C(R，(0,∞))以及K(I−Q)N:Ω→DomL∩kerPP+++τ∈C(R,R)都是T-周期函数，R=[0,∞)。在Ω上为相对紧的，则称N在Ω上为L-紧的。受文献[3-6]的启发，在本文中，我们减弱了由于dimImQ=dimkerL，故一定存在一个同构0<µ<1这个限制条件，通过构造合适的集合以及映射J:ImQ→kerL。利用Gaines和Mawhin[7]所提出的迭合度理论，研[7]引理1.1（延拓定理）设Ω⊂X为有界开集，究了下列模型：L是指标为
5、零的Fredholm算子且N在Ω上为L-紧−r(t)y(t−τ(t))y"(t)=−a(t)y(t)+b(t)e,t≥0，(3)的。假设具有初值a）对任意的λ∈(0,1)，x∈DomL∩∂Ω，有y(s)=φ(s)，∀s∈[−τ*,0]，Lx≠λNx；*+b）对任意的λ∈(0,1)，x∈kerL∩∂Ω，有φ(0)>0，φ∈C([−τ,0]，R)(4)+QNx≠0和deg{JQN,Ω∩kerL,0}≠0，的正周期解的存在性，其中，a∈C(R,(0,∞))，+++则方程Lx=Nx在DomL∩Ω上至少有一个解。b,r∈C(R，(0,
6、∞))，τ∈C(R,R)且均为T-周期函1T为方便起见，引入记号：f=∫f(t)dt，f(t)T0收稿日期：2007-11-14作者简介：周刚（1975−），男，讲师，硕士生；时宝（1962−），男，教授，博导，博士。第1期周刚等：一类具有时滞的细胞繁殖模型的正周期解的存在性·113·为一个连续的T-周期函数。t−r(s)ex(s−τ(s))−x(s)K(I−Q)Nx=(−a(s)+b(s)e)ds−P∫02正周期解的存在性1Tt−r(s)ex(s−τ(s))−x(s)∫∫(−a(s)+b(s)e)dsdt−T00定理2.1
7、初值问题(3)、(4)至少存在一个正的⎛t1⎞T−r(t)ex(t−τ(t))−x(t)⎜−⎟∫(−a(t)+b(t)e)dt，T-周期解。⎝T2⎠0x(t)证明作变换y(t)=e，则方程(2)可以写成下1T−r(t)ex(t−τ(t))−x(t)以及QNx=∫(−a(t)+b(t)e)dt。列形式：T0x(t−τ(t))−r(t)e−x(t)x"(t)=−a(t)+b(t)e,t≥0。(5)如果Ω是X中的一个有界开集，易知QN(Ω)是令有界集并且K(I−Q)N:Ω→X是相对紧的，所以，P+X=Z={x(t)∈C(R,R)
8、
9、x(t+T)=x(t)}，N在Ω上是L-紧的。+DomL={x(t)∈X
10、x(t)∈C'(R,R)}，下面，我们考虑算子方程定义范数x=supx(t),∀x∈X。则X和Z是具有Lx=λNx,λ∈(0,1]。(8)t∈[0,T]假设x(t)∈X是方程(8)的任意T-周期解。范数x的Banac
