一类具阶段结构的捕食者-食饵模型的周期解.pdf

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1、第!"卷第#期西南师范大学学报（自然科学版）!$$%年&!月’()*!"+(*#,(-./0)(12(-345673849/0+(.:0);/9<6.793=（+03-.0)2>96/>6）?6>*!$$%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!文章编号：&$$$@AB（&!$$%）$#$"#C$@一类具阶段结构的捕食者食饵模型的周期解!肖氏武&，!，王稳地&&D西南师范大学数学与财经学院，重庆A$$B&@；!D襄

2、樊学院数学系，湖北襄樊AA&$@%摘要：研究了一类具阶段结构的捕食者食饵模型的渐近性质*文中假设由幼年阶段转化为成年阶段的转化率依赖于幼年个体数量*建立了捕食种群一致持续生存与绝灭的条件*证明了稳定的周期解的存在性*关键词：阶段结构；持续生存；绝灭；周期轨；稳定性中图分类号：!"#$%"；&"’"文献标识码：("模型众所周知，捕食者食饵模型是非常重要的种群模型!文献［&"@］中考虑的食饵种群多是受密度制约的，当不存在捕食者时食饵的增长率（#$）具有E(F9739>形式或满足#（%$）&$!然而有些种

3、群在数量很小时无密度制约，当达到一定数量后受密度制约!这时（#$）可具有如下形式：($当$"$")$（#$）’{（&）()$*+（)$"$）当$#)$其中)$,$，+,$，-,$为常数，(为种群的内禀增长率!本文考虑如下阶段结构模型：ìG$’（#$）"-$/!ïG.ïïG/&í’0-$/!"!&/&"1（/&）/&（!）G.ïïïG/!îG.’1（/&）/&"!!/!这里（#$）同（&），$（.），/（&.），/（!.）分别表示食饵、幼年捕食者、成年捕食者在时刻.的数量!!&，!!分别表示幼年捕食者

4、与成年捕食者死亡率!0表示将食饵转化为幼年捕食者的转化系数!1（/&）表示幼年捕食者转化为成年捕食者的转化率，并假设它是幼年捕食者数量的函数!(为食饵的内禀增长率!以上所有参数均为非负常数!本文的目的是研究系统（!）的渐近性质!得到了系统（!）会出现渐近稳定的周期解!这说明阶段结构可能是种群数量周期扰动的原因，从而使得种群模型的性态更加复杂!)平衡点及其稳定性在这一节，我们给出系统（!）的正平衡点存在及其渐近稳定的条件!"收稿日期：!$$%$A&$基金项目：国家自然科学基金资助项目（&$!B&$C#

5、）*作者简介：肖氏武（&CB&H），男，湖北天门人，讲师，硕士研究生，主要从事生物数学的研究*通讯作者：王稳地，教授*76#西南师范大学学报（自然科学版）第(7卷我们作如下假设：（!"）!（#）"#，!（#$"）!#对所有$""［#，$）成立，且有%&’!（$"）%#&$$"#（!(）!（$"）$"单调递增，即（!（$"）$"）#"#&首先，当’"［#，(#）时得到：如果!（(!（#）)!"）(#"（)）*+!（#）-则系统（(）有唯一的正平衡点,(’，$"，)，其中’!(#，$"满足：+!-(!（

6、$"）$"%（*）+其次，当’"［(#，$）时得到：当.!（(!（#）)!"）!（(!（#）)!"）/(#/（+）（.)-）*+!（#）*+!（#）成立时，系统（(）有唯一的正平衡点,$（’$，$"$，$($），’$%(#&下面分别讨论正平衡点,与,$的稳定性&-系统（(）在正平衡点,(’，$"，)的线性化系数矩阵0的特征方程为+)(")1"")1(")1)%#+2!"$"其中1"%!")!()2"#1(%!"!(31)%*+-2’"#-这里2%（!（$"）$"）#%!（#$"）$")!（$"）&通

7、过计算，得+2!"$"1"1(31)%（!")$()2）!"!(3-2!(3（!")!()2)-）-由,-./01!.23&/4定理，可得下面的结论：定理!"#若（!"），（!(）与（)）成立，则系统（(）有唯一的正平衡点,&如果条件（!（!(+2!"$"")!()2)-）/!-(")!"!()!"23-2）（5）满足，则正平衡点,是渐近稳定的&系统（(）在正平衡点,$（’$，$"$，$($）的线性化系数矩阵0$的特征方程为)(")1"")1(")1)%#其中1"%.)+$($)!")!()2"#$

8、）（!2!"!(1(%（.)+$(")!()2）)!"!(3$）!（$"1（.)+$$）)+2!$$.2!"!()%!"!((((3!（$$）"这里2%（!（$"$）$"$）#%!（#$"$）$"$)!（$"$）记4%!")!()25（4*(（.)-）3!$$）(!（$$）#%#"""5.!*(（.)-）4).!(4$$*(（.)-）!4(!（$$）"%3"!(#"!(")#("3.!$）$$4(!（$$）$$*(2（.)-）!(!（$$）"!(4!（$""3!"!(