一类duffing方程的周期解的存在性

《一类duffing方程的周期解的存在性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、北京大学政学者论文集（2001年）一类Duffing方程的周期解的存在性一类Duffing方程的周期解的存在性北京大学数学学院98级宋佳嘉摘要本文证明了微分方程+，其中，是2周期函数。在较弱的条件下2周期解的存在性。一．引言近三十年来，对于非耗散系统的研究是一个倍受重视的专题。对于一个较基本的Duffing方程：+，其中是2周期函数目标是研究的2周期解的存在性。当是线性时，我们知道在线性共振的情况下，是没有2周期解的。当是强非线性时，即成立，则它有无穷多个2周期解。（见参考文献）当满足m，，且min时，丁同仁证明了

2、方程一定存在2周期解。.本文的主要结果如下：定理：微分方程式,其中是2周期函数。当以下条件：存在A，M,0，使得473北京大学政学者论文集（2001年）一类Duffing方程的周期解的存在性成立时，则一定存在2周期解。一．准备工作本文主要采用以下不动点定理：命题设是一个闭的有界平面区域，记是它的边界，且是一条分段光滑的简单闭曲线。设映射是连续的，o为的一个内点。若对任意的p和任意实数，象点满足，则h至少有一个不动点。考虑一个二维闭圆盘：及其边界。设给定连续映射H：则由命题可直接推出如下命题：命题对于上述映射H，若，

3、对所有的均成立，则映射H在中至少有一个不动点。其次将微分方程转化成等价的微分系统：，其中并设初始条件：，令微分系统满足初始条件的解为：易知在区间上存在且唯一。将转化为极坐标形式：，其中，，由可知：473北京大学政学者论文集（2001年）一类Duffing方程的周期解的存在性由于条件：使得，故存在和。当r时，因此，由可知：只要令和，从而由式可推得下面的不等式：，这就证明了，只要初始值，则式成立，同时表明：当初值离原点充分远时，微分系统的轨线在的时间内，始终位于两个充分大的圆周和之间。以后，我们永远假定。另一方面：由,

4、从条件(2.8)知充分大时，从而，由可知存在，使得当时,。不失一般性，我们假定则存在，使得，其中，令c=，容易看出，当时，。473北京大学政学者论文集（2001年）一类Duffing方程的周期解的存在性因此，我们有：当时，当时，当时，并由条件，可推出：当时，只要，则综合，，，和，我们得到以下的引理：引理对于微分系统和初始条件，当满足条件和时，只要，就有不等式：引理表明，当充分大时，使得和成立时，式在（x，y）平面上当时绕原点逆时针转动。设它从初始点出发绕原点一周时间为T，本文主要是估计T的大小。一．一个重要的估计式

5、本节主要估计T的大小。设初值条件，，，其中满足引理条件。不妨设（其它情况证明类似），取，由于在T时间内绕原点逆时针转动一周，则必然从转到，设从转到时间为，显然从而r充分大时，T，则知从初始点出发，绕原点一周时间大于473北京大学政学者论文集（2001年）一类Duffing方程的周期解的存在性，也就是说经过时间轨线不能回到由原点到初始点所连的射线上。一．主要定理的证明证明：考虑与等价的微分系统和初始条件，设满足的解为，在中令t=，设，，，。任给充分大的常数，考虑命题中所述的闭圆盘和拓扑映射H：，由于和分别是和的幅角，

6、第三节中的估计式，表明(*)，则(*)蕴涵着，对所有的。从而满足命题的条件，H至少有一个不动点，现在考虑时的解为，，因为，所以，，显然表明是的一个周期解。证毕。由此，我们得出了微分方程式+，其中是2周期函数的一个较弱的充分条件：存在A，M0，使得成立。致谢非常感谢李政道博士及其夫人秦惠女士能够提供这样的基金，使我能在本科学习阶段进行初步的科学研究；也感谢473北京大学政学者论文集（2001年）一类Duffing方程的周期解的存在性政基金办公室的王老师以及汪老师，细心安排和精心组织，使我们的课题研究工作得以顺利的

7、进行；感谢数学学院能够为我提供良好的环境，进行课题研究；当然最感谢的还是我的导师柳彬教授，他悉心的指导，孜孜以求的工作态度以及对科学的严谨和敬业精神深深的感动着我。也感谢我的家人和同学们对我的支持。参考文献：①Harvey,C.A.,Periodicsolutionsofdifferentialequations,ContributionstoDifferentialEquations,I(1963),No.1②丁同仁，在共振点的非线性振动，中国科学A辑，I（1982），1-13③Lazer,A.C.&Leach,D

8、.E.,Boundedperturbationsofforcedharmonicoscillationsatresonance,Ann.Mat.PuraAppl.,72(1969),49-68.④DingTong-ren,Somefixedpointtheoremsandperiodicallyperturbednon-dissipatesys