一类具阻尼的二阶奇异微分方程周期解的存在性

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1、AdvancesinAppliedMathematics应用数学进展,2017,6(3),348-356PublishedOnlineMay2017inHans.http://www.hanspub.org/journal/aamhttps://doi.org/10.12677/aam.2017.63040ExistenceofPeriodicSolutionsofaSecond-OrderSingularDampedDifferentialEquationYanhuaWang,ShengjunLi*CollegeofInformationSciencean

2、dTechnology,HainanUniversity,HaikouHainanthththReceived:May7,2017;accepted:May24,2017;published:May27,2017AbstractSingulardifferentialequationshaveimportantapplicationsinastronomy,physics,biologyandmanyotherappliedsciences.Inthispaper,byusingvariationalmethods,weprovetheexistenceof

3、atleastanon-trivialperiodicsolutionforthesecond-ordersingulardampeddifferentialequation1utqtut′′()+()′()−=gt().γut()KeywordsVariationalMethods,SingularDifferentialEquations,PeriodicSolutions,Existence一类具阻尼的二阶奇异微分方程周期解的存在性*王燕华，李胜军海南大学，信息科学技术学院，海南海口收稿日期：2017年5月7日；录用日期：2017年5月24日；发布日期

4、：2017年5月27日摘要奇异微分方程在天文学、物理学、生物学等学科中有着广泛的应用，本文应用变分方法，证明了二阶阻*通讯作者。文章引用:王燕华,李胜军.一类具阻尼的二阶奇异微分方程周期解的存在性[J].应用数学进展,2017,6(3):348-356.https://doi.org/10.12677/aam.2017.63040王燕华，李胜军1尼奇异微分方程utqtut′′()+()′()−=gt()至少有一个非平凡周期解的存在性结果。γut()关键词变分方法，奇异微分方程，周期解，存在性Copyright©2017byauthorsandHansPubl

5、ishersInc.ThisworkislicensedundertheCreativeCommonsAttributionInternationalLicense(CCBY).http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/OpenAccess1.引言及主要结果变分学是研究泛函极值(以及更一般的临界值)的一个数学分支；变分问题内容非常丰富，从经典力学到规范场论，物质运动的规律都遵从变分原理。临界点理论是近几十年来变分学发展最快的分支，同时也有许多应用，特别是在微分方程解的存在性的证明中它是直接方法的一个重要补充[1]-

6、[6]。本文应用“山路引理”研究奇异阻尼微分方程1utqtut′′()+()′()−=gt()(1)γut()T1T-周期解的存在性，其中qgC,∈>(/,,1T)γ，∫qtt()d0=，显然非线性项−γ在原点具有排0ut()1斥奇异性，即lim−=−∞。最近，方程(1)周期解的存在性也受到少数几个专家学者的关注。+γu→0ut()在文献[7]中，应用度的同伦不变性，对同伦方程的解进行先验估计，然后利用经典的重合度理论，得到方程至少有一个正周期解；在文献[8]和[9]中，通过考虑其Green函数的正性，分别应用Leray-SchauderT二择一原理和

7、Schauder不动点定理，研究了其周期解的存在性。一般情况下，当∫qtt()d0>，对于方0T程(1)很难应用变分法。本文，我们考虑∫qtt()d0=的情形，通过合理的假设，在适当的Sobolev空间0上建立方程(1)的相应的变分结构，利用“山路引理”，证明方程(1)至少有一个非平凡的T-周期解。定理1.假定条件T(H1)qgC,∈>(/,1T)γ，且∫qtt()d0=；0u1(H2)lim+Fu()=+∞，其中Fu()=∫1γds；u→0us()1(H3)Ms:sup=:0<<+∞是有界的；γus()T(H4)lim(Fu()−g

8、u)=+∞，其中g定义为g:d=∫gtt()。u→+