具不对称非线性项的二阶常微分方程周期解的存在性(1)

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1、第46卷第5期数学学报Vol.46,No.5.20039月.,年ACTAMArHEMATICASINICASePt2003:一一:文章编号05831431(2003)051017-08文献标识码A具不对称非线性项的二阶常微分方程周期解的存在性张小美(南通工学院应用数学系南通226007)一(Em碰:zhangxi的i@pub.nt.jsinfo.net)me钱定边(苏州大学数学系苏州215006):su‘en(E-maildbqian@daedu)摘要本文利用变分方法给出了具不对称非线性项的二阶常微分方程周期解的存在性..的充分条件通过例子说明本文的主要结果可看作是

2、Lsman-Lazer条件的补充ande;不对称非线性;关键词周期解变分方法MR(2000)主题分类34C25中图分类0175.1Exis亡enceofPeriodieSolutiSeeondorderD证比rent过Equations~forwithAsynunetricNoulinearityXiaoeiZHANGMa代。e,tAl‘a云hea亡‘e,,oto。夕习“亡。亡ee人。01,,(D印of即edMoNa加of几四Na”￡o甸226007,p.R.Ch认a)(尽。a‘l:zha。归ao。。‘即二b。亡J:‘,咖.oe分DingBianQIAN(口rt仇e

3、几t‘the爪at‘e夕,之ho移‘”e”‘t夕,吕“名入00215006,P.R.‘。D印ofM加流Ch旬(B-oa‘l:dbq‘a。肠。da.ed‘.e。),Abs亡tBymeansofavariationalaPProaehweProvidesufielenteonditionsforractheexisteneeofPeriodie501诚ionsforsealarseeondorderdiferentialeatiswithquon:一一:一一:一收稿日期20010813;修改日期20011213;接受日期200209-16:BK基金项目江苏省自然科学基金

4、资助项目(2002037);江苏省教育厅自然科学基金资助项目(0ZKJBlo03)1018数学学报46卷1引言及定理考虑方程,.位艺+,二()f(亡(艺))=h(t)(11),:x,,l一araoor,其中f(tu)RRoR满足f(t+2二u)=f(tu)和LCth‘dy条件即对一切,,,,,。任Rf(tu)都是t的可测函数;对几乎所有的亡cRf(。司是二的连续函数;对一切p>o存在周期为2二的函数‘(·)任Ll,使得对几乎所有的亡任R和一切满足!川p。cR,t,。三的}f()!三e,(t).h:RoR是以2二为周期的Ll函数.关于方程(1.1)的周期解的存在性已有

5、一些结果,参见文{l一7!.其中一些结果给出的充分an条件为所谓的Ldesman-Lazer条件’了一!·2’“!<2开!,,()*()“!,+(,“!六关六关六关(1.2)其中,,,·f-(t)二limsupf(tu)f+(‘)二f(‘“)U.U玛华兹峥一00,.,t二1“”该条件当f(司关于单调不减时对于方程(1)的周期解的存在性几乎是充分必要条件,一.,一详见文沁6770页1最近唐春雷[sl给出了一个当f没有LandesmanLazer条件时周期解存,一.,LsLazer:在的充分条件这可以看作是andeman条件的补充在文[sl中作者证明了如果方.,,,程(

6、11)中的f(tu):=g(动任C(RR)满足下列条件。su!,,.(i)o三liminf、}*co三一imp、、<1;今华,(2)口(一co)<,、(。)己。

7、推广了文[sJ中的上述结果.令、,、一、._、_、一了.矛.屯u一二1介ZF(t)fu产,,,一t二二。户‘,“‘,工d‘,“一‘,,f()拼飞,一了又)丽“()d‘G(‘UUj0j0,,f(艺0)牡=0.:设下列条件。赵业三‘im0三liminf。+o+,(f1)擎SlP牡一)十(x,移三b(t)三拼t,“。_丛一imf()一“,0三liminf、coSlPu一争一。‘u三b(t)三,,掣一。对几乎所有的t任!02司一致成立其中b+(t)<拼和b(t)<在同一个正测度集合上成立,,,“>,(。闪任Cl一。>0。+一“}.{(u沙赤击:张小美等具不对称非线性项的