具系数扰动的非线性微分方程的一致稳定的概周期解的存在性.pdf

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1、第卷第期临沂师范学院学报年月具系数扰动的非线性微分方程的一致稳定的概周期解的存在性倪华;，林发兴（江苏大学理学院，江苏镇江；福州大学数学与计算机科学学院，福建福州）摘要：考虑具系数扰动的非线性微分方程，利用指数型二分性及稳定性有关理论得到了该系统的概周期解的存在性、唯一性和稳定性，获得了一些新的结果关键词：非线性微分方程；系数扰动；概周期解；一致稳定中图分类号：文献标识码：文章编号：引言考虑如下微分方程=;:其中是（是的定义区间）上的连续矩阵函数关于系统的零解的一致稳定性，已有定论：如果系统在+上满足投影为的普通二分性，则系统的零解是一致

2、稳定的研究了如下的系数扰动的线性系统=+;:其中，均是+上的连续矩阵函数，并得到：如果系统满足投影为，常数为的普通二R+1分性，且扰动的系数矩阵满足kk6<+1，则扰动的线性系统的零解也一致稳定本文考虑了系数扰动的线性系统在非线性项;扰动下，即如下系统=++;;:其中;是对2关于2的一致连续向量函数，利用指数性二分性及稳定性有关理论研究了系统的概周期解的存在性和稳定性，同时也分析了系统的零解的稳定性，并得到若干结论因为系统是在;=时的特例，所以我们的结果推广了的关于系统的零解的稳定性这一结论即下文引理，并得到了一些新的结果相关定义及引理

3、考虑系统=;;:设;2;=;+1++定义设='是系统的特解，对于任意给定的">及2，如果存在">，+使得当j'j<"时，方程组以;为初值的解;;在;+1上存在，且适合收稿日期：基金项目：福建省青年科技人才创新基金资助项目（）；福建省教育厅科技基金资助项目（）；福州大学科技发展基金资助项目（）作者简介：倪华（），男，江苏丹阳人，江苏大学讲师，硕士研究方向：常微分方程及其应用临沂师范学院学报第卷j;;'j<";2;+1，则称解='在李雅普诺夫意义下是一致稳定的引理设阶矩阵函数在区间;上连续，是齐次线性方程=的一个基本解矩阵，又

4、设维向量函数;在区域=f;j<<;jj<+1g上连续，如果初值问题8>>>><=+;;>>>>:=的解存在且唯一（这里2;），则是上述初值问题的解的充分必要条件，是是积分方程Z=+;的解引理考虑系统，是上的连续矩阵函数，基本解矩阵满足如下不等式6;>::R如果上的连续矩阵函数满足jj6为正常数，那么系统的基本解矩阵满足不等式6;>:其中=考虑系统=+:和相应的线性系统=;:其中是上的连续矩阵函数，是定义在上的维连续向量函数引理如果线性系统在上具有普通二分性，则系统及其壳方程都满足条件引理如果系统的每一齐次壳方程满足

5、条件，又系统有定义在;+1上的有界解，则系统有概周期解'，且';引理考虑系统，设是概周期矩阵函数，是概周期向量函数，如果下列条件成立：系统对应的齐次线性微分方程满足投影为=（其中为单位阵），常数为的普RR通二分性；jj6<+1，则系统存在概周期解'=，且!+111';其中是系统的基本解矩阵0证明：对'求导得：'='+满足系统，故'是系统的解；因为系统满足投影为，常数为的普通二分性，故有6;>;又ZZZj'j=6jj6jj:111由条件知，系统及其壳方程满足条件，由条件知，j'j6<+1;，故'有界，由引理知，'是

6、概周期函数，且';第期倪华等：具系数扰动的非线性微分方程的一致稳定的概周期解的存在性主要结论定理考虑系统和，设，是定义在上的关于的连续概周期矩阵函数，是上的一紧集，;是对2关于2的一致概周期连续向量函数，;对一切2成立，并且对;2，2成立j;;j6jj，其中为上的连续函数；若系统R满足投影为=（其中为单位阵），常数为的通常二分性，且成立jj6，（为R!+11，则系统某正常数），!+116<存在一致稳定的概周期解'，且';;证明：设是系统的满足=的基本解矩阵，因为系统具有投影为，常数为的通常二分性，所以有6;>

7、令=，则有jj6;>;:R由条件jj6，根据引理，我们得到!+116;>::由式知，系统具有投影为、常数为的通常二分性令=，则有jj6;>;:这里是系统的满足=的基本解矩阵，=下面分两步证明：证明系统存在概周期解；因为2，不妨假设jj6，其中>为常数定义=f''2;j'j6;';;g在中取范数k'k=j'j则是完备2度量空间又系统满足投影为的通常二分性，由引理知，系统及其壳方程满足条件；又ZZZZ;6j;j=j;;j6jj6:1111故由引理，对每一确定的'2，=++;'有概周期解'，且';;，且有：Z'=;';

8、1所以ZZZk'k6j;'j=j;';j6jjj'j6k'k6;111注意到<=，故k'k6<，所以'2，所以!又对任意'2和2，有ZZj'j6j;';j6j'j;