资源描述：
《具有时滞的非线性二阶微分方程的概周期解的存在唯一性及稳定性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第9卷第1期杭州师范大学学报(自然科学版)Vol.9No.12010年1月JournalofHangzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Jan.2010文章编号:1674232X(2010)01000607具有时滞的非线性二阶微分方程的概周期解的存在唯一性及稳定性倪华,田立新(江苏大学理学院,江苏镇江212013)摘要:研究了一类具有时滞的非线性二阶微分方程的概周期解的存在唯一性及稳定性问题.利用指数型二分性理论和不动点方法,得到此类方程概周期解的存在唯一性的一些新结果.并进一步利用稳定性理论得到其概周期解
2、的一致渐近稳定性,改进了相关文献的主要结果.关键词:二阶非线性时滞微分方程;指数型二分性;概周期解;不动点方法;一致渐近稳定中图分类号:O175.1MSC2000:34C27文献标志码:A0引言文[12]分别研究了下列非线性Duffing方程3x-x-x=f(t)(1)及3x-x+x=f(t)(2)的概周期解的存在性问题,这里f(t)是概周期(简记为a.p)函数,x,t!R.文[3]考虑更为广泛的一类具有时滞的非线性微分方程mx-x∀x(t-r)=f(t)(3)的有界解及a.p解的存在性及唯一性问题.这里x,t!R;f(t)在R上有界连续;
3、m>1为自然数;r>0为常数.利用适当的变量替换和不动点方法及逼近法证明了:当
4、f(t)
5、在一定范围内,方程(3)具有有界解或概周期解,并且在
6、x
7、的某一范围内它们是唯一的.改进和推广了文[2]中的主要结果.文[4]又进一步研究了较文[3]稍复杂的系统mx+px-qx∀x(t-r)=f(t),(4)其中r,p,q为实数,且r#0,q>0,q-p#1,推广了文献[3]的主要结果.但是当系统(4)中p,q为变系数时,情况要复杂得多,但考虑到变系数方程在工程上的重要应用,研究如下变系数二阶非线性时滞微分方程很有必要,文章考虑如下方程:收稿日期:20091121基金项
8、目:国家自然科学基金资助项目(10771088);江苏大学高级人才专项基金资助项目(07JDG082);江苏省博士后基金资助项目(0801028C).作者简介:倪华(1969),男,江苏丹阳人,讲师,系统工程专业博士研究生,主要从事微分方程及其应用研究.Email:nihua979@126.com第1期倪华,等:具有时滞的非线性二阶微分方程的概周期解的存在唯一性及稳定性7mx+p(t)x+q(t)x∀x(t-r)=f(t).(5)利用指数型二分性理论和不动点定理得到了系统(5)概周期解的存在唯一性的充分性条件,并进一步分析了概周期解的稳定性,文章的结果改
9、进了文[34]的一些相关结论.1相关定义及引理nnn21n定义范数如下:设R表示欧氏空间,任给向量x!R,定义∃x∃=(xi)2,任给矩阵A!R%i=1n∃Ax∃&R,定义∃A∃=supx∋0,对向量函数x(t)和矩阵函数A(t)的范数也类似于常向量和常矩阵范∃x∃数的定义.[5]定义1考虑线性系统x=A(t)x,(6)2其中A(t)是连续有界的n维矩阵函数,如果存在常数K>0,>0及射影P(P=P)使得-1∃X(t)PX(s)∃(Kexp(-(t-s)),t#s,-1∃X(t)(I-P)X(s)∃(Kexp((t-s)),s#t,则称系统(6)具有指
10、数型二分性,另外,系统(6)的零解一致渐近稳定等价于系统(6)具有投影为I的指数型二分性,其中X(t)为系统(6)的基本解方阵.以下是该文要用到的引理.考虑如下系统x01x=,(7)y-q(t)-p(t)y其中,p(t),q(t)是R上的连续有界函数,有如下的引理:引理1考虑系统(7),如果存在定义在R上的连续可微的正的函数a(t),b(t),连续可微的函数c(t),2并且a(t)b(t)>c(t),且有22a(t)+b(t)-[a(t)+b(t)]-4[a(t)b(t)-c(t)]1=inf<+),t!R222a(t)+b(t)+[a(t)+b(t)]-4
11、[a(t)b(t)-c(t)]2=sup<+),t!R22-B(t)+B(t)-4C(t)-)<=sup<0,t!R2这里,B(t)=2b(t)p(t)-2c(t)-b∗(t)+2c(t)q(t)-a∗(t),C(t)=[2b(t)p(t)-2c(t)-b∗(t)][2c(t)q(t)22-a∗(t)]-[a(t)-b(t)q(t)-c(t)p(t)+c∗(t)],则系统(7)具有投影为I,常数为,指数为-的122指数型二分性.a(t)c(t)01证明G(t)=,记A(t)=,由条件可知,G(t)是正定矩阵,构造c(t)b(t)-q(t)-p(t)
