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《具强迫项的二阶非线性时滞微分方程的振动性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2010年2月湖南学院学报Feb.2010第10卷第1期JournalofHunanFirstNormalUniversityVol.10，No.1具强迫项的二阶非线性时滞微分方程的振动性吕定洋（湖南第一师范学院数理系，湖南长沙410205）摘要：在研究两类带强迫项的二阶非线性时滞微分方程的振动性时，可通过新的方法得到方程的解的几个振动准则，还可推广并改进已知的一些结果.关键词：强迫项；非线性微分方程；振动性；积分算子中图分类号：O175文献标识码A文章编号：1674-831X（2010）01-0
2、151-031.引言方程的一个解称为振动的，如果它具有任意大的零点；否则称之为非振动的.一个方程的所有正常解都是振动的，本文考虑方程:则称方程是振动的.（1）本文的主要目的是综合利用文[2]和[3]中的方法讨论方和方程:程（1）和（2）的解的振动性，推广并改进文[1]和[3]中的一些（2）已知的结果.其中,是连续函数，非减，.以下我们记2．主要结果且总假设：为了讨论我们的主要结果，先介绍一个在后面的证明，且当时，有:中将要用到的积分算子及其性质.假设，，且.文[1]讨论了线性方程:（3）对于和应用
3、积分算子如下：得到了方程（3）的振动性的如下定理：（6）定理A：假设对于，存在常数,使其中。容易看出是线性的、正的，满足下列且，对于性质：（7），对于（8）（9）如果存在及一个正函数，使其中是实数。，定理1：假设（A1）成立，且，对于，那么方程（3）是振动的.存在常数,使且，对于文[2]考虑了方程:成立。（4）（10）文[3]考虑了方程:如果存在及一个正函数使（5）（11）得到了方程的一些振动性结果.收稿日期：2009-09-22基金项目：湖南省2008年自然科学基金项目（09JJ3010）作者简
4、介：吕定洋（1968－），男，湖南邵阳人，湖南第一师范学院数理系副教授，硕士，研究方向：方程稳定性理论。151第1期湖南学院学报2010年那么方程（1）是振动的。（18）证明：若（1）存在一非振动解，不妨设为最终正解，则存那么方程（1）是振动的。在充分大的使得对所有，从假证明；若（1）存在一非振动解，不妨设为最终正解，同定设，可以选择，使理1的证明有:,即当时,.从方程（1）易得，因此单调不增。若有，则有，从而.从方程（1）有:从t1到t>t1积分上式，得即得：，这与矛盾.因此有:，于是由，得定义
5、。那么.现定义，那么由方程（1）可以得到：（12）由定理条件。得:（13）在（19）式中从s1>a1到b1应用积分算字A，应用（9），得前面已经证明,对于,因此对于到：，利用微分中值定理有：令（14）注意到对于，从上式有:则易知F（V）有最大值即即从到积分上式，得:所以由（13）式得:让有（15）矛盾。定理证毕。注2：在定理2中取，取如假设，在（15）两边从s1>a1到b1同取算即有文[1]中的定理A成立.子A，应用（9）和，得到:下面考虑方程（2），对函数做如下假设：=，若x与y同号，则与（x，
6、y）同号；且其中满足下式：(16)为常数；为常数。在（16）式中,让，有:定理3：假设（A1）（A2）成立，对于，有在常数a1,b1,a2,b2，使，,对于与（11）矛盾.定理证毕.如果存在，一个正的函数，使注1：当时，我们的结论退化成文[3]中的定理1。取，即有文[1]中的定理A成立。则方程（2）是振动的.定理2:假设成立，且，假设对于证明：设是方程（2）的非振动解，则存在充分大的，存在常数。使且，，使得对所有，有对于。同定理1的证明一样，对于，（17）令，由方程（2）可得：如果存在及一个正函数
7、使152第1期吕定洋：具强迫项的二阶非线性时滞微分方程的振动性2010年参考文献：（20）[1]J.S.W.Wong.Oscillationcriteriaforaforcedsecondorderline从（20）式类似于定理1的证明，可得：-ardifferentialequation[J].Math.Anal.Appl,1999:231.235-240.[2]D.CAKMAK.OscillationCriteriaforCertainForcedSecond-OrderNonlinearDi
8、fferentialEquations[J].AppliedMathem与假设矛盾。证毕。-aticsLetters,2004:17.275-279.[3]CakmakD.,TiryakiA..Oscillationcriteriaforcertainforceds3.应用-econd-ordernonlineardifferentialequationswithdelayed例：考虑微分方程：argument[J].Computer.Math.Appl,2005,(49):164
