一类二阶非线性脉冲时滞微分方程的振动性

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1、山西大学学报(自然科学版)29(4)：337~340，2006JournalofShanxiUniversity(Nat．Sci．Ed．)文章编号：0253—2395(2006)04—0337—04一类二阶非线性脉冲时滞微分方程的振动性燕居让(山西大学数学科学学院，山西太原030006)摘要：考虑一类具脉冲扰动的非线性二阶时滞微分方程，在较为一般的条件下，得到了方程有界振动的充分、必要及充分必要务件．论文的结果，对于非脉冲振动下的方程也是新的．关键词：有界振动；脉冲扰动；时滞二阶微分方程中图分类号：O175文献标识码：A由于理论及应用两方面都有重要的前景，脉冲时滞微分方程解的定

2、性研究近年来已受到国内外研究者的关注．对于二阶脉冲时滞微分方程振动性方面的研究成果已有若干工作卜引．本文的目的是研究具有非线性脉冲扰动的二阶非线性时滞微分方程解的振动性．设0o．考虑如下脉冲时滞微分方程Y(￡)+口(￡)(￡)+P(￡)(((￡)))一0，t≥0，t≠r，(1a)f=l(对)一y(r)一I(y(rk))，Y(r)一，()一I(())，忌=1，2，⋯．(1b)在本文中如下条件总假设成立：()口，PE([0，oo)，R)，i一1，2，⋯，，是Lebesgue可测函数且局部本性有界，尺一(一Cx3，oo)；(2)EC([0，Cx3)

3、，R)，且当uvS0时()>0，IEC(R，R)，且当≠0时uI()>0，i一1，2，⋯，，忌一1，2，⋯；(3)gE([0，oo)，R)，g(￡)≤￡且limg(￡)一∞，i一1，2，⋯，／72，是Lebesgue可测函数．对于任何≥0，令—mininfg(￡)．表示由属于[，]上的有界Lebesgue可测函数组成的集合．为了叙述方便，不失一般性，在本文中总设>≥0，忌一1，2，⋯，r。一．定义1对于任何≥0和soE，函数yE(It，Cx3)，R)称为方程(1)((1a)一(1b))定义于[r，c>o)上满足初始条件(￡)一(￡)，tE[r，]，Y()一YER(2)的解，如果

4、下列条件被满足：(i)yE([，Cx3)，R)，在每个区间(，+1]上有绝对连续的Y(￡)，Y(r)，()，Y(r)，Y(rf)存在，Y(r)一()，Y(rf)一()，且满足(1b)，忌一1，2，⋯；(ii)在[，Cx3)上几乎处处(口．P．)满足(1a)．定义2方程(1)的解称为非振动的，如果它或者为最终正的，或者为最终负的；否则称它为振动的．定义函数Jk()一口U，∈R＼{0}·由(z)知当≠0时Jk()>0，忌一1，2，⋯·我们定义Jk(0)一·收稿日期：2006—09—20基金项目：国家自然科学基金(10071045)；教育部高校博士学科点专项科研基金(20040108

5、002)作者简介：燕居让(1937一)，男，山西交城人，教授，博士生导师，从事微分方程方向的研究工作．且山西大学学报(自然科学版)另一对于任意实数列{“}，考虑如下辅助方程方面()+a(t)x()+∑P()ⅡJk(“)(Ⅱ(“)(g对()))一o，t≥．(3)i一1a时几乎处处满足个(3)，而在[，]上满足(2)．方程(3)的解称为振动的，如果它有任意大的零点，否则称它为非振动的．定理

6、1设{“}是一个实数列．埘)我一(i)若z()是(3)在[7．，。。)上的解，那么()一Ⅱ(uk)z()是(1)当(rk)一时在[，。。)上的解．‘有m(ii)若()是(1)在[，c×3)上的解，那么()一Ⅱfly()Y()是(3)在[，。。)上的解．‘Ⅱ证明先证明(i)．容易得知()一Ⅱf(“)()在每个区间(，+)上有绝对连续导数yr()一<

7、

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