二阶时滞微分方程的振动性

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1、第一章时间尺度的基础理论1．1时间尺度的历史背景和理论意义通常人们研究微分方程和差分方程时，都是把他们分别开来进行研究。因此，很自然的问题是：能否建立一种统一离散和连续分析的理论?直至1988年，StefanHilger[1]在他的博士论文中首次对时间尺度理论的引入，这一问题在一定程度上才得到了解决。这一理论的提出，给对时滞微分方程和时滞差分方程的研究提供了有力的工具。因而，时间尺度上的微分方程的定性理论研究便引起了国内外许多学者广泛的关注，并获得了一些很好的研究成果。比较有影响的代表著作有R．P．Agarwal1992年出版的专著[2]，V．

2、L．Kocic和G．Ladas1993年出版的专著[3]，M．R．S．Kulenovic和G．Ladas2001年出版的[4]等。其中专著[3]在介绍基本理论，总结已有结果与方法的基础上，提出了许国“公开问题与猜想’’；另外，M．R．S．Kulenovic和G．Ladas等人在文献[2]中，对二阶非线性差分方程进行了比较系统的研究的同时，也提出了一些“公开问题与猜想’’，供研究者去探讨。这些问题引起了研究者的强烈兴趣，无疑也为初始研究者，尤其是那些初入门而找不到研究问题的人，提供了极好的、现成的研究课题。1995年国际差分方程专业期刊《Jour

3、nalofDifferenceEquationsandApplications》的创立更是推动了差分方程理论研究的发展，为差分方程理论研究的发展，为差分方程的交流与合作提供了一个专业的舞台。尤其，该杂志的编辑G．Ladas教授把各国学者在研究中遇到不能解决的问题集中起来加以分类，以“公开问题与猜想"的形式在杂志专栏上提出，激起了人们的研究兴趣，促进了差分方程理论的进一步发展。然而，对差分方程理论的研究还处于初始阶段，许多方面有待于人们进行进一步研究。正如V．L．Kocic和G．Ladas在专著[3]中所言：“这是一个处于孕育阶段的肥沃的研究领域

4、"。w．G．Kelly和A．C．Peterson在[5]中展望：差分方程是一个丰富的领域，既有趣又有用。因此，研究时间尺度上的微分方程对于寻求微分与差分方程的联系和区别以及统一，推广和改进微分与差分方程的许多重要结果有着重要意义。另一方面，由于时间尺度的特殊性，其研究方法既有与研究微分与差分方程的方法相同的地方，又有其蛊身的特瘸性。1．2基本概念1．2．1时标的基本理论一个时标是实数一个任意的非空闭子集，例如：R，Z，N，No，即实数，整数，自然数，非负自然数。定义1在时标丁上定义跳跃算子p，仃：r呻r。其中，后跳算子pO)=sup{s∈丁：s

5、f)，infa：一supZ，sup彩：=infr。若pO)一f，则称点￡是左稠的；若p(f)《f，则称f∈r是左散射的；若盯0)一￡，则称点f是右稠的；若口◇)》f，则称f∈r是右敖射的；若尹擘)《￡<∥0)，则称点爹是孤立的；若夕0)；f=拶0)，则称点}是稠密的。最后定义步长函数弘：爹呻【o，∞)弘f爹)净d∞一f。在上面的定义中，假设z为R的闭子集，则肛(f)，仃◇)均在f中。在其它的情况下，我们定义r：若r有一个左散射的最大值朋，定义r．_r一{朋)；否则，定义矿=r。总之zt；p(p(sup

6、丁)，suprpsupr一。lr，矿supr一∞最后，若，：r呻尺是一个函数，则我们定义函数，。：r—R，a(f)=，(盯◇))，f∈Z，f卫．，，口一，。∥。定义2[19]设，：z呻R，t∈r‘。定义，A(f)为具有如下性质的一个数(假定存在)：对任意的s>O，存在t的一个6邻域，(即对任意6》O，u一(f一6，f+6)nz)，使得2l[，(仃(r))一，(s)]一，△[盯(，)一s】ls占l仃(r)一sl，s∈【厂。则称，A(f)为厂在f上的△一导数。如果对所有的f∈丁‘都有，A(f)存在，则称厂在Z‘△一可微，简称可微的。定理1[6]假设

7、，：r呻尺是一个函数，Z∈r‘。则有以下结论：(i)若，在点f可微，则厂在点f连续。(ii)若，在点f连续，且点f右散射的，则，在点f可微：川小掣铲。(iii)若点f是右稠的，则，是可微的当且仅当存在且是一个有限的数。在这中情况F州；粤掣掣。(iv)若厂在点f可微，则，(∥(f))=厂(f)+∥(f)厂A(f)。定理2[20]假设，，g：r呻j5c在点f∈r‘可微。则(i)函数之和，+g：Z—R在f可微(厂+g)A(f)；，A(f)+gA(f)。(ii)对任意的常数口，口厂：r-’R在f可微(口厂)A(f)=口，A(f)。(iii)乘积函数居：

8、丁_尺在f可微(招)A(f)=，A(f)g(f)+，(盯(f))gA(f)。3(iv)若，(f)，(∥(f))辨。，则手在点f可微嘶小一稿。(V)若g