一类立方非线性型八阶常微分方程周期解的多重存在性

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1、2008年2月中央民族大学学报(自然科学版)Feb.2008第17卷第1期JournaloftheCUN(NaturalSciencesEdition)Vol.17No.1一类立方非线性型八阶常微分方程周期解的多重存在性高利辉,李成岳(中央民族大学理学院,北京100081)(iv)(vi)摘要:本文运用极小化定理和Clark定理研究了满足边界条件u(0)=ud(0)=u(0)=u(0)=0和(iv)(vi)(vii)(vi)(iv)u(L)=ud(L)=u(L)=u(L)=0的一类立方非线性型八阶常微分方程u+Au+Bu+Cud+Du3-u=0多重非

2、平凡周期解的存在性.关键词:八阶微分方程;周期解;极小化定理;Clark定理中图分类号:O17719文献标识码:A文章编号:1005-8036(2008)01-0013-061引言[1~4]近十多年,运用临界点理论研究EFK方程和半线性六阶常微分方程周期解的存在性和多重性[5~8]的文章非常多,文献[7]中S.Tersian和J.Chaparova利用Clark定理研究了半线性六阶微分方程,得到了多重解的结果.文献[2]中,关于EFK方程也有类似的结论.本文受文献[6]和[7]的启发,研究了一类半线性八阶微分方程,并且得到了周期解的存在性和多重性.在

3、生命科学中,需要考虑下列八阶偏微分方程86429u9u9u9u9u3=8+A6+B4+C2+Du-u(1)9t9t9t9t9t的稳定解,其中A,B,C和D都是正常数,并且122C>(B+A),min(2B,4C)>A>B>0.(2)4A设u是方程(1)的一个稳定解,那么(1)可约化为常微分方程(vii)(vi)(iv)3u+Au+Bu+Cud+Du-u=0,(3)在第1节中,我们首先讨论方程(3)在下列边界(iv)(vi)(iv)(vi)u(0)=ud(0)=u(0)=u(0)=0,u(L)=ud(L)=u(L)=u(L)=0(4)下的非平凡解.令1

4、P21P61122A122L1:=PminC-(B+A),1-(B+A),(5)D4AD4AC2x1CC22AL2:=,其中x1=+P+4P.(6)2DDC利用变分法,可以证明,当0[L[L1时,问题(3)~(4)只有平凡解;当L>L2时,它有一个非平凡解.收稿日期:2007-08-23基金项目:中央民族大学/十一五0青年教师科研基金资助项目.作者简介:高利辉(1980-),男(汉族),河北邢台人,中央民族大学理学院硕士研究生,研究方向:非线性泛函分析及其应用.14中央民族大学学报(自然科学版)第17卷并且我们还运用Clark定理证明了当L>mL2时

5、,问题(3)~(4)存在多重非平凡解.我们将证明问题(3)~(4)具有变分结构,并且在空间4(iv)(iv)X:={H(0,L):u(0)=ud(0)=u(0)=u(L)=ud(L)=u(L)=0}(7)中,它的弱解就是下列泛函L1(iv)2(iii)222214I(u;L):=Q(u+Au-Bud+Cuc-Du)+udx(8)240的临界点.最后,容易看出,只要将问题(3)~(4)的解u进行奇延拓u(x),0[x[L;u0(x)=-u(-x),-L[x[0.我们就得到了方程(3)在0和L之间反对称的2L-周期解.2周期解的存在性本节研究边值问题(v

6、iii)(vi)(iv)3u+Au+Bu+Cud+Du-u=0,0

7、一个弱解.泛函I可微,它的临界点就是(9)的弱解,并且满足L(iv)(iv)33Ic(u;L),v4=Q(uv+AuÊvÊ-Budvd+Cucvc-Duv+uv)dx,PvIX.0命题1如果u是泛函I的一个临界点,那么u是(9)的一个经典解.证明设uIX是I的一个临界点,那么LL(iv)(iv)3Q(u-Aud-Bu)vdx=Q(Cud+Du-u)vdx,PvIX.004因为X

8、drdsdt+ax+bx+cx+d0000(iv)可知u可微,并且xsr(v)32u-AuÊ-Buc=QQQ