时滞Schoner模型的周期解的存在性.pdf

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1、广西民族学院学报!自然科学版"第12卷第2期J0URNAL0FGUANGXIUNIVERSITYF0RNATI0NALITIESVol.12No.22006年5月May2006时滞Schoner模型的周期解的存在性姚志健!安徽建筑工业学院数理系"安徽合肥230022#摘要#运用重合度方法研究一类具有时滞的Schoner模型的周期解!得到该系统存在正周期解的充分条件.关键词#Schoner模型"时滞"周期解"重合度中图分类号#0175文献标识码#A文章编号#1007-0

2、311!2006"02-0075-050引言Schoner在1974年提出了两种群竞争模型=Z1JI=T1J<_T11J_T12@_c1>J+e1<1>Z2@I=T2@<_T21J_T22@_c2>@+e2考虑到实际生态系统中由于季节.气候等环境因素的影响文[2]讨论了当<1>的所有系数为周期系数的情形研究了周期系数的Schoner模型<2>的周期解的存在性.Z1JI=T1J[_T11J_T12@_c1]J+e1<2>Z2@I=T2@[

3、_T21J_T22@_c2]@+e2本文将进一步考虑具有时滞的Schoner模型<3>=Z1JI=T1J[_T11J>_T12@>_c1]J>+e1<3>Z2@I=T2@[_T21J>_T22@>_c2]@>+e2其中TZcCeT都是

4、正的连续的0周期函数初始条件J<0>iiiiiiJ0@<0>0.近年来许多学者运用非线性分析理论来研究具有时滞的生态数学模型的周期解的存在性问题取得了一些很好的结果.例如文[5]运用Krasnoselski锥拉伸和锥压缩不动点研究了一类具有时滞的单种群Logistic收稿日期#2006-02-15.基金项目#安徽建筑工业学院硕士科研基金资助项目!Y2004-43#.作者简介#姚志健!1975-#"男"安徽人"安徽建筑工业学院数理系讲师"硕士.主要从事微分方程及其应用研究.75广西民族学院学报#自然科学版$2006

5、年5月第12卷模型的周期解的存在性文6~8运用重合度理论研究了一些时滞系统的周期解.本文将运用重合度理论研究时滞Schoner模型3的周期解的存在性得到模型3存在正周期解的充分条件.在本文中记000111R1=T1tT11tdtR2=T2tT21tdtR3=T1tT12tdt000000000111R4=T2tT22tdtR5=T1tc1tdtR6=T2tc2tdt00000010TtZt10TtZt1111f1J=dtJ20dt=f1000J+e1t00e1t10TtZt10TtZt2222f2J=dtJ20d

6、t=f20.00J+e2t00e2t3先引入重合度理论的有关概念和结论设XY是实的Banach空间LDomLCX-Y为线性算子如果dimKerL=codimImL<+O且ImL为Y中的闭子集则称L是指标为0的Fredholm算子.如果L是指标为0的Fredholm算子且存在连续投影算子P=X-XO=Y-Y使得ImP=KerLKerO=ImL=ImI_O则LIDornLKerPI_PX-ImL可逆设其逆映射为KP设为J中的有界开集N=-Y为连续算子如果ON有界且KPI_ON-X是紧的则称N在上是L-紧的.!3"引理

7、设XY是实的Banach空间LDomLCX-Y是指标为0的Fredholm算子P=X-XO=Y-Y是连续投影算子使得ImP=KerLKerO=ImL=ImI_O=ImO-KerL是线性同胚O是有界开集KerLOON=O-Y是L-紧的且满足对任意X01方程LJ=XNJ的解满足JO对任意的JOKerLONJ0degONOKerL00这里的deg是Brouwer度.则LJ=NJ在O内有解.1周期解的存在性AA12+Rf1eR3e5定理设下列条件成立AAf21+R2eR2e6f10f20其中A1=20f10+lnA2=2

8、0f20+ln.R1R4则系统3存在0正周期解.2证明易验证R+=J@IJ0@0是系统3的正不变集.作变换/t=lnJtUt=ln@t则3化为T1tZ1t/I=_T1tT11teXp/t_C1t_T1tT12teXpUt_C2t_T1tc1teXp/t_C1t+e1t4TtZt22UI=_T2tT21teXp/t_C1t_T2tT22teXpUt_C2t_T2tc2teX