具有奇性的时滞Rayleigh方程周期正解存在性_钟涛

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1、第47卷第2期郑州大学学报(理学版)Vol.47No.22015年6月J．ZhengzhouUniv．(Nat．Sci．Ed．)Jun.2015具有奇性的时滞Ｒayleigh方程周期正解存在性钟涛，鲁世平(南京信息工程大学数学与统计学院江苏南京210044)摘要:研究了含有奇性的时滞Ｒayleigh方程x″(t)+f(x'(t))+g(t，x(t－σ))=0周期正解的存在性问题，其中f:Ｒ→Ｒ连续，g:Ｒ×(0，∞)→Ｒ连续，关于t为T周期，且在x=0处具有奇性，即limg(t，x)=∞．利用Mawhin重x→0+合度延拓定理，证明了上述方程至少存在一个T周期正

2、解．关键词:Ｒayleigh方程;周期解;存在性;Brouwer度中图分类号:O175．14文献标志码:A文章编号:1671－6841(2015)02－0007－06DOI:10．3969/j．issn．1671－6841．2015．02．0020引言近年来，二阶非线性微分方程周期解存在性问题被广泛研究．文［1－2］利用锥不动点定理等研究了Hill方程和其他二阶非线性微分方程周期正解的存在性和多解性．文［3］研究了一类Liénard方程周期解存在性［5］问题．文［4］研究了具有时滞的Ｒayleigh方程周期正解的存在性．Mawhin重合度延拓定理在非线性微分方程

3、周期解存在性问题的研究上有重要作用，通过运用该方法，人们获得了许多关于二阶非线性微分方程周期［6－13］解存在性的结果．例如，文［6］研究了具有奇性的Liénard方程x″(t)+f(x(t))x'(t)+g(t，x)=0周期正解的存在性．文［7］进一步研究了具有奇性的时滞Liénard方程x″(t)+f(x(t))x'(t)+g(t，x(t－τ))=0周期正解的存在性．文［8］研究了滞后型非自治Ｒayleigh方程x″(t)+f(t，x'(t－σ))+g(t，x(t－τ))=p(t)周期正解的存在性．［5］本文将利用Mawhin重合度延拓定理，进一步探讨具有奇

4、性的时滞Ｒayleigh方程x″(t)+f(x'(t))+g(t，x(t－σ))=0(1)周期正解的存在性，其中f:Ｒ→Ｒ连续，g:Ｒ×(0，∞)→Ｒ连续，关于t为T周期，且在x=0处具有奇性，即liminfg(t，x)=∞．x→0+t∈［0，T］假设存在φ∈C(Ｒ，Ｒ)并且φ(t+T)=φ(t)，使得φ(t)=limsupg(t，x)/x在t∈［0，T］上处处存在，x→+∞即对任意的＞0，存在g∈C(［0，T］;Ｒ)使得对所有x＞0，t∈［0，T］有g(t，x)≤(φ(t)+)x+g(t)．(2)定理1假设以下条件满足:(h1)存在实数0＜D1＜D2，

5、使得(t，x)∈［0，T］×(0，D1)，g(t，x)＜－f(0);(t，x)∈［0，T］×(D2，+∞)，g(t，x)＞－f(0);(h2)g(t，x)=g0(x)+g1(t，x)，其中g0∈C((0，∞)，Ｒ)，g1:［0，T］×［0，+∞)→Ｒ连续．并且，对任意b＞0存在hb∈C(［0，T］;［0，∞))使得对于任意t∈［0，T］，x∈［0，b］有g1(t，x)≤hb(t);1(h3)∫g0(x)dx=－∞;02(h4)存在正数a，b使得a∈(0，π/T)，f(u)≤au+b，u∈(－∞，+∞)，且φ∞＜(π－收稿日期:2015-01-18基金项目:

6、国家自然科学基金资助项目，编号11271197．作者简介:钟涛(1990－)，男，江苏南京人，硕士，主要从事非线性泛函分析理论与应用研究，E-mail:mathzhongtao@163．com;通讯作者:鲁世平(1962－)，男，安徽无为人，教授，博士，主要从事时滞微分方程理论与应用及生态数学研究，E-mail:lushiping88@163．com．引用本文:钟涛，鲁世平．具有奇性的时滞Ｒayleigh方程周期正解存在性［J］．郑州大学学报:理学版，2015，47(2):7－12．8郑州大学学报(理学版)第47卷2aπT)/T．则方程(1)至少存在一个T周期正

7、解．例1考虑方程3m(x'(t))21x″(t)++nx(t－σ)(sint+1)－=0，(3)2γ1+(x'(t))x(t－σ)其中m，n和γ均为正常数，且0＜m＜1/2，0＜n＜(1－2m)/8，γ＞1，相应于方程(1)，有322－γT=2π，f(u)=mu/(1+u)，g(t，x)=nx(sint+1)－x．1－当(t，x)∈［0，T］×(0，(2n)γ+1)时，有g(t，x)＜－f(0)=0．1－当(t，x)∈［0，T］×(nγ+1，+∞)时，g(t，x)＞－f(0)=0．11－－取D1=(2n)γ+1，D2=nγ+1，则条件(h1)满足．显然条件(

8、h2)与(h3)是满足的