一类时滞脉冲Lotka-Volterra系统的概周期解.pdf

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1、第32卷第1期广西师范大学学报：自然科学版Vo1．32No．12014年3月JournalofGuangxiNormalUniversity：NaturalScienceEditionMar．2O14一类时滞脉冲Lotka—Volterra系统的概周期解薛晋栋，冯春华(广西师范大学数学与统计学院，广西桂林541004)摘要：本文利用Lyapunov函数的方法，研究一类时滞脉冲Lotka—Volterra系统的概周期解的存在性，得出保证方程存在概周期解的一组充分条件。关奠词：Lyapunov函数；Lotka—Volterra系统；概周期解}脉冲；时滞中田分类号：O175．1文献标识码：A

2、文章编号：1001—6600(2014)01—0069—05O引言众所周知，种群动力学系统中的Lotka—Volterra型竞争系统，由于其理论及实际应用十分广泛，已受到国内外许多学者广泛关注，尤其是解的存在性、持久性、振荡性和稳定性已被广泛地研究[】]。在文献[-73中，作者利用渐近概周期方法研究了具有离散时滞的N维种群Lotka—Volterra竞争型系统￡nuz(￡)一z(t)Eb(￡)一口()z(￡一)一∑∑口()(￡一r)]J=1l=1的概周期解的存在唯一性。在文献[8]中，滕志东等研究了具有有限时滞及无穷时滞的～维种群Lotka—Volterra竞争型系统苎一Xi(t)[6

3、l()一日(￡)。()一∑口(￡)(t一(￡))一∑ICi)(￡，s)(+s)ds]JlJ1√．一％周期解的渐近稳定性。近几年来，研究具有脉冲效应的微分方程在实际的生产和生活中是很有意义的。本文考虑一类具有时滞脉冲效应的Lotka—Volterra竞争型系统㈤)[6一卜一洋【△((1)￡)一户(￡)，一tk，志∈Z，其中1≤i，J≤，Z是正整数，Ax(￡)一．76(+O)一z(一0)，且z(￡)一z(￡一O)。考虑到系统(1)的实际意义，我们假定b()、口(￡)、口，(f)均为非负连续函数，f，(，)是关于t∈R，∈[一，O]的非负连续函数。，∈[O，oo)，P∈(一1，0)。令r—m

4、ax{r1≤i，≤}。假设系统(1)满足初始条件为z()一()，()>0，0∈(一r，to]，to≥0，i一1，2，⋯，。(2)为了方便起见，对于任意的非负连续函数g(￡)，我们假定：g一一infg(￡)，g一supg(t)。收稿日期：2013—06—18基金项目：国家自然科学基金资助项目(11361010)通信联系人：冯春华(1949一)，男，广西荔浦人，广西师范大学教授，博士。E—mail：chfeng@mailbox．gxnu．edu．cn7O广西师范大学学报：自然科学版第32卷l预备知识假设B一{{t}：t∈R，t

5、成的集合，—士记0一inf{t一t：tEB)。PC(R，R)表示所有分段连续且不连续点是第一类间断点函数构成的集合。∈Z定义1[称序列{tl}(一t一t，是EZ，JEZ，{t)EB)的集合是一致概周期的，如果对任意e>0，对每个序列都存在共同的e一概周期的相对紧集。定义2称_厂(￡)是Bohr概周期的，如果对任给的￡>0，集合Z(f，￡)一{r；If(t+r)一厂(￡)I<￡，Vt∈R}是相对稠密的，即对任给￡>0，存在z—z(e)>0，使得在每个长度为z的区间内至少有一个r—r(￡)Er(f，￡)，使If(t+r)一_厂(￡)】<￡对一切t∈R成立。引理1设厂()EC(R，E)是概周

6、期的，则厂()在R上有界且一致连续。z(f)：z()F(x(￡)，z(t—h))，考虑方程A：c()一I(z())，(￡)一(9()，,22()一()F((f)，z(t—h))，A：c()一1女(z())，ff()一(9(f)，以及其乘积系统≠一∈rr((￡)一y(t)F(y(t)，y(t—h≠))，一∈≠一∈”¨一悬矗Ay()一I女(y())，""一¨一志∈()一(￡)，Z__=∈∈ZZ其中函数F：A×A一，函数()∈PC[R，R]，函数序列{()}：A一及{}均是一致概周期函数，A二=={∈R：II≤u，u>0}。下面定义V(f，，)即V()(t，z，)一lirainf{(t+，(

7、+)，(t+))一(t，，)}。8—0十引理2_]若方程(3)存在函数V(t，，)定义在R×A×A上，满足下列条件：①“(1～I)≤V(t，，)≤6(I—I)，其中口(r)、6(r)是连续递增的正定函数；②不等式V(t，，)≤一cV(t，，)，t≠，c>0，和(t+0，z+J+)≤(t，，)，t≠，走Ez：(34③存在方程(3)的解(f)，使得l()l