时滞细胞神经网络方程概周期解

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1、-时滞细胞神经网络方程概周期解的存在唯一性牛保青李波栗青生(安阳师范学院，安阳，455000)摘要本文主要考虑了一类连续神经网络系统离散化情况。在一定条件下得到了这类方程概周期解的存在性和唯一性以及其全局吸引性。作为应用，文章最后给出一个例子。关键词概周期解；存在性；唯一性；神经网络中图分类号：O175.7文献标识码：A文章编号：§1简介在文[1]中，作者考虑了细胞网络神经模型[简称CNNs]:(1)并且给出了其概周期序列解存在性和全局稳定性的充分条件，作为该文的推广本文研究下面的时滞细胞神经网络方程[2]（简称DCNNs)(2)其中，m代表的是细胞网络中神经元的个数；对应于时刻t第i

2、个单位的状态向量值；，表示在与神经网络不连通并且无外部附加电压差的情况下第i个神经元恢复静息状态的速率；代表的是第j个神经元在时刻t的输出；代表的是第i个单位对第j个单位的影响张度；代表的是第j个单位对第i个在时刻t-的影响强度，并且，表示第i个神经元在t时刻的沿第j个神经元的轴突信号传输时滞；表示第i个神经元在t时刻的外部输入。对于神经网络系统，连续模型的离散化系统是对其动力学行为的一种模拟。离散神经网络系统可以保持某种连续神经网络系统的动力学行为，其中最为广泛应用的技巧就是采用差分方程逼近的方法来得到原来微分方程的近似解。这种技巧已经得到普遍应用。对于离散神经网络系统，其指数稳定性

3、的充分条件在其他文章中已给出。在本文中，我们将主要考虑连续神经网络系统离散化后系统的概周期序列解的存在性以及其全局吸引性。为了得到上述两个连续方程的差分方程，我们通过一个带有分段常数项的微分方程，对方程（2）而言，即考虑下面的方程：收稿日期：2010--;TEL：15836387228；E-mail:nbq68@yahoo.com.cn基金项目：国家自然科学基金项目(60973051).作者简介：牛保青(1968-)，男，河南林州人，安阳师范学院副教授，主要从事应用数学研究。.---(3)其中[.]是代表取数的最大整数.取步长为，则存在，其中在上有界，使得,,方程(2)应用上述方法可以

4、写为(4)通过时间变换,方程(4)化为：(5)时，在之间积分并且让得到(6)我们将研究方程（6）概周期序列解的存在性和全局吸引性，在此之前，我们在整篇文章中引入下面的一些符号：l,a和b是整数。l代表单位矩阵。l,为矩阵，是的特征根。l整篇文章中我们将令，，，，，，，l我们设下列条件成立是有界函数，，且满足李氏条件，Lipschitz常数为,,..---l我们设是连续有界函数，，且满足李氏条件，Lipschitz常数为,,,.l同时我们设其根的范数都小于l（当为纯虚数或者实数时，表示的模或者绝对值，统称为的范数）,．lB是维列向量，，取其范数，，且.设下面关于B的方程，§2主要引理定义

5、1对于差分方程(1),它的有界解称为是全局吸引的，当且仅当其满足下面的条件：对任意(1)解，我们有.定义2一个实数序列称为概周期序列，如果它的移位集在整数中是相对稠密集，即，存在一个整数，使得每个长度为的连续整数中都存在一个，使得，称为移位数或概周期。定义3一个实数序列称为渐进概周期序列，如果它可以写为下面形式：其中是概周期序列，当.引理1是概周期序列当且仅当对于任何一列，并且当，存在一个子列，使得对于一致收敛当.引理2是渐进概周期序列当且仅当对于任何一列使得并且当，存在一个子列，使得对于一致收敛当.引理3若是概周期函数，则是概周期序列；若是概周期序列，则存在一个概周期函数，使得..-

6、--引理4设和都是实概周期序列，则,是概周期序列；若,则也是概周期序列.而且对于和及存在一个共同的在整数中相对稠密的移位集.在文[5]中作者研究了下面差分方程(7)其中为给定的整数，，为常数，作者给出以下结果（文[5]引理1）：引理5对差分方程(7)而言，如果，且其特征方程的个根的范数小于1，则(7)的任意解收敛，即(7)整体收敛，且其中.下面我们给出该引理的一个推广：引理6对差分方程，其中,如果该方程的特征方程对于任意的其特征根的范数是小于1的，则上述差分方程的任意解都趋向于0.证明：由任何的k阶差分方程都可以写为下列形式：,其中，.(8)并且满足：,.所以，可以知道对差分方程，当，

7、则可以知道其所有的解都趋向于0的。根据归纳法可以知道，对于差分方程若，，则此方程的解最终趋向于0。如果上述方程的特征方程的根的范数都是小于1的，则亦可知其解最终趋向于0，得证。§3概周期解的存在唯一性以及其全局吸引性下面设在方程(6)中，，都是概周期序列，则有下面两个定理.定理1若系统（6）满足条件-.则该系统有唯一的一个概周期序列解，且此解全局吸引。证明由引理3可知，对于概周期序列和存在一个共同的在整数中相对稠密的移位集，故从中可以取两个序列