一维可压Navier-Stokes方程自由边值问题全局强解存在性和解的边界行为.pdf

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1、倒㈤爨黝妇数学物理学报http：／／actams．wipm．ac．cn一维可压Navier—Stokes方程自由边值问题全局强解存在性和解的边界行为+宋红丽郭真华(西北大学数学系，西北大学非线性科学研究中心西安710127)摘要：研究粘性系数p(p)=1+臼矿时一维可压Navier—Stokes方程的自由边值问题．假设初始密度间断连续到真空．首先通过建立一些先验估计式得到了密度P的正上下界，其次利用磨光法构造光滑逼近解，证明了当0>0时全局弱解的存在唯一性，并且得到了解的边界行为及其渐近性态．进一步，在适当的初值条件下通

2、过提高解的正则性证明了强解的全局存在性．关键词：Navier—Stokes方程；自由边值；强解；边界行为；渐近性态．MR(2000)主题分类：35Q30；76N10中图分类号：0175．2文献标识码：A文章编号：1003—3998(2013)04-601—201引言本文在欧拉坐标系下考虑如下的粘性系数依赖于密度的一维等熵可压Navier—Stokes方程J_p，扎u)∈=0，I(p“)，+(pu2+P(p))f=(p(p)“∈)∈，这里∈∈[o(丁)，6(丁)]，丁>0，J9(∈，7_)，“(∈，丁)，P(P)分别表示流

3、体的密度，速度和压力．p(p)=1+口矿表示粘性系数．为叙述简单，在文中仅考虑多方理想气体，即P(P)=Ap'Y，7>1，A>0．不失一般性，不妨令A=1．假设气体在初始时刻充满有限区间[a，b]cR1并且间断地连接到真空．此时存在两条曲线∈=n(丁)和∈=6(丁)把气体与真空分隔开来，即∈=o(r)和∈=bO-)是气体与真空的分界面并且满足导n(丁)=u(o(丁)，丁)，5b(，-)=u(6(丁)，r)，a(O)=o，b(O)=b．于是上述问题可转化如下P，+(P札)f=0，(1)(pu)，+(pu2+P(p))∈=(

4、肛(p)u∈)∈，(2)P(p(o(7-)，7-))=p(p)u∈(Ⅱ(丁)，7．)，P(p(b(丁)，7-))=p(p)u∈(6(7_)，7-)(3)收稿日期：2012—06—28；修订日期：2013—05—22E—mail：songhl0422@163．corn；zhenhua．guo．math@gmail．com+基金项目：国家自然科学基金(11071195)资助602数学物理学报V01．33A(P，饥)(∈，0)=(Po，乱o)(∈)，∈∈[oj6]．(4)引入Lagrange坐标变换z=厝，)p(z，丁)dz，

5、￡=7-，这时，自由边界∈=n(丁)和∈=6(1-)变为z=0，z=删p(z，-『)dz=fbp。(z)dz，其中fbp。(z)dz是气体总质量，不妨设fbpo(z)出=1．于是，自由边值问题(1)一(4)变成Pt+p2u。=0，(5)“t+(p7)。=(p(p)p“。)。，(6)p1(d，t)=(P+Op。+1)u。(d，t)，d=0，1，(7)p(x，0)=po(x)，“(z，0)=uo(x)，0≤X≤1(8)多年来，问题(1)一(2)一直被诸多学者所关注，并且得到了许多关于该问题的结果．当粘性系数为常数时，有大量的

6、研究结果，譬如文献f17]，其中郭真华等在文献[6]中研究了粘性系数p(p)为常数时一维可压Navier—Stokes方程自由边值问题(1)一(2)的边界行为，并且证明了在区域Q=：f(z，t)：a(t)

7、0]中假设初始值满足po(x)，U0(z)∈Lip[0、1]．随后江松等在文献[11]中假设对某些P，Po∈W1,P(0，1)，札o∈LP(O，1)，将文献[910]的结果扩展到0<0<1的情形，利用磨光法证明了全局弱解的存在唯一性．近来，郭真华等在文献『121中证明了0<0

8、究结果相对较少．首先，文献f14]中得到了解的局部存在性结果，文献[15]证明了当0<0<2／9时弱解的全局存在性，随后文献[1617]分别将结果扩展到了0<0<1／3，o<0<1／2，在此基础上，文献[18]得到了0<0<1时的结果，文献[19]证明了当o<0墨1时全局弱解的存在唯一性．近来，郭真华，朱长江在文献『