一类广义的MHD方程强解的全局存在性

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1、一类广义的MHD方程的强解的全局存在性包忠欢段礼鹏*钮维生摘要：木文主要讨论了一类广义的三维MHD方程强解的全局存在性问题，运川Garlekin逼近方法和较为细致的正则性佔计，我们证明了当初值坯,紡GV时,外力项/WH时,上述广义的三维方程强解的全局存在性关键词：广义的方程，强解，全局存在性中图分类：0175.2文献标码:A1•引言设Q是一个带有光滑边界的有界区域，我们考虑以下的广义的MHD方程inD+xftinD+xQinD+xQ,onD+xr,inQ,(1.1)ur+w

2、[)(w-Vw-/?-VZ7)+V(^4-—)=/勺-松/?+你(IIwll)(w-VZ?-/?-Vw)=0,d

3、ivw=0,div/?=0u=0,b=0w(0,x)=w0,b(0,x)=b{}这里常数〃>0,〃>0分别为粘性系数和耗散系数,f是外力项，龙表示压力川表示速度场方表示磁场，显然当你(II训)=1时，即为经典的MHD方程.作为磁流体力学问题中的经典模型，在过去的几十年里,MHD方程吸引了许多著名的数学家的关注和兴趣•人们对其解的存在唯一性问题进行了深入和广泛地研究，参见［12•同经典的Navier-Stokes方程一样,二维的MHD方程存在着全局弱解和强解，但是三维MHD方程解的全局存在性问题仍然是悬而未决的公开数学难题，对于经典Navier-Stokes方程而言,其强解的全局存在性问

4、题似乎在短期内难以解决.鉴于此,人们考虑了各种止则化的Navier・Stoke方程，如Navier-Stokes-a方程［4］,Leray方程⑸，等.特別Caraballo与Kloden等引入了一•类广义的Navier-Stokes方程，并证明了三维情形下上述方程强解的全局存在性参见⑼，(1.2)ut-〃△«+Fn(\wll)w-Vw+fin□+xQ,divw=0,in□+xQ,w=0,on□+xT,w(0,x)=w0inQ,众所周知,MHD方程和Navier-Stokes方程在解的存在性,适定性等方面有很多相似性.在⑺&9］中，作者分别考虑了与文献［4,5,6］中几类正则化的Nav

5、ier-Stokes方程相对应的几类正则化的MHD方程，并将关于正则化的Navier-Stokes方程的研究结果推广到了相应的MHD方程.受上述工作的启发，本文屮我们引入一类广义的MHD方程(1.1)并运用Garlekin逼近法证明了三维情形下广义MHD方程强解的全局存在性.再给出具体结果及证明Z前，我们首先给出一些预备知识•记V={wG(C；(Q))3:divw=0},令H是V在(厶2(Q))3屮的完备化，这里屮的内积和范数分别为(•,•)」•I一其中/(w,V)=LUJ(")"/(X)加旳,VW(厶2(Q))〔令V是V在(比(⑵尸屮的完备化，这里中的内积和范数分别为((•,•))川

6、其屮9dXjdxj令V为V的对偶空间，H'为H的对偶空间，易知VuH三HuV定义dVi[—w{ax.clxiJJ本文中C>0为常数丿代表Stokes算子[20].2强解的全局存在性木文的主要结果如下定理1•假设u.eV^b.EV并且对任意给定的T>0,./gL2(0,T;L2(Q)3),,若L2(0,T;£)(A))nr(0,T;V),则方程(1.1)存在唯一的强解.证明:考虑方程(1.1)的Garlekin逼近方程知”-如％+fn(

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18、lekin逼近的细节问题请参考[10],我们分别用％仇与方程(2.2)作内积町以得三=1%F+创%『一你(

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22、uJ)bbm,ufM=0.12at两式相加可得Iu,nI2+半IbmI2+2“ll+2別bm\2atat=2(Pmf,um)<2f\um

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35、，故有{%},{—}在ZT(0,T;H)c厶2(o,T；V)中有界illLions-Aubin紧定理，可知存在u.ber(0,T;H)n£2(0,r；V)使得在选取适当的子列的意义下%,勺”在r(0,t；h沖分别弱*收敛到ue%,bjLl}(0,T;V0中分别弱收敛到処b但是{um}，叽}在上述意义下的收敛并不能保证II知IITII训，或者Fn(IIu」I)tFn(IIull).为了保证能冇上述收敛，我们盂要做更强的估计,这里用Au