一类具交错扩散的强耦合退化抛物方程组解的整体存在与非存在性

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1、数学杂志Vo1．34(2014)J．ofMath．(PRC)NO．5一类具交错扩散的强耦合退化抛物方程组解的整体存在与非存在性，●●●●J●●●●一，UC，●＼，U＼高景璐，韩玉柱，高文杰=，(吉林大学数学学院，吉林长春130012)摘要：本文研究了一类具交错扩散的强耦合拟线性退化抛物方程组初边值问题正古典解的局部存在，整体存在与非整体存在性．利用正则化方法和先验估计技巧证明了该问题正古典解的局部存在性，并且分别给出了该问题是否存在整体古典解的充分条件．结果表明当种群内竞争强于种群间互惠作用时，此问题存在整体解；而当两种群具有强互惠作

2、用时，所有解都是非整体的．关键词：退化抛物方程组；强耦合；整体存在；非整体存在；交错扩散MR(20101主题分类号：35K40；35K51中图分类号：O175．2文献标识码：A文章编号：0255—7797(2014)05—0947-121引言反应扩散方程和方程组是一类重要的抛物型偏微分方程，它们有着非常广泛的实际背景，涉及了如物理，化学，以及生物群体动力学等许多方面的科学研究领域．它们是自然界中广泛存在的扩散现象的一种数学抽象．关于如下形式的拟线性退化抛物方程()(△u+au)，∈／2，t>0，=0，∈0／2，t>0，=uo()，∈／

3、2和方程组∈／2，>0，∈，t>0，0∈a，￡>0，z∈古典解的整体存在和非存在性的研究已经取得了丰富的结果，其中文献[1-3]讨论的是单方程的情形，而文献[4—6]讨论了强耦合方程组的情形．他们通过对a，b以及区域大小关系的讨论，分别建立了整体解的存在与不存在性条件．收稿日期：2012．05—18接收日期：2012-11-05基金项目：国家自然科学基金资助(10771085；11271154)；吉林大学“985工程”项目基金资助；吉林大学研究生创新基金．作者简介：高景璐(1982一)，女，吉林长春，博士，主要研究方向：偏微分方程理论

4、研究及计算．数学杂志2008年，Chen[]研究了如下形式的拟线性问题仇利用一种基于积分估计的方法，他证明=了上=述问题是否存在整体解与(q—)一)一(+1一p)(叩+1一s)的符号密切相关．r●【r●【==受上述工作的启发，本文研究如下u形式的扩散方程组解的整体仇存=在与非存在性：／●●J(1【++毗仇=∈，t>0，IIl1一+X∈，t>0，，、(1．1)∈at，0，、Il0+∈，件+，三堇}其中是RⅣ中具有光滑边界a的有界区域，a，b，Ci(=1，2)，P，q>0，r，S，f，m≥1．初值(UO，VO)满足∈，f1．2)∈a

5、，、这里n代表a上的外法向量．模型(1．1)可以用来描述生物种群动力学中具有互惠作用的两种群的种群密度的变化规律．其中未知函数u(，t)，v(x，t)分别代表两种群在t时刻处的种群密度，a，a。是各自的净出生率，系数b，c2代表了种群内部的竞争而系数b，C代表种群间的互惠作用．问题的强耦合性使得通常的比较原理一般不再成立．为了克服这一困难，本文中我们采用Chen在文献[7]中用过的借助积分估计的方法来证明问题(1．1)整体解的存在与非存在性．我们将证明当种群内部竞争强于种群间的互惠作用时，问题(1．11存在整体古典解；而当两种群具有强

6、互惠作用时，该问题所有的正古典解都不是整体存在的．类似问题的讨论还可以参见文献『8—101_我们称(U，V)是问题(1．1)的古典解，如果存在00为相应的特征函数满足max()=1．易知1>0，<0于a．x6⋯文章安排如下：第二部分我们给出正古典解局部存在性的证明．在第三和第四两部分我们分别给出问题整体解存在和不存在的充分条件．2局部存在

7、性由于在On上u==0，所以(1．1)式不是严格抛物型的．经典的抛物方程理论[11,121不能直接用于证明它的古典解的局部存在性．为了克服这个困难，我们采用正则逼近的方法．这个方法已被很多学者用来证明退化方程或方程组解的局部存在性(见文献[3，13，14】)．这里高景璐等：一类具交错扩散的强耦合退化抛物方程组解的整体存在与非存在性我们只是简要地给出证明框架．考虑如下逼近问题t((==r●【r●【刊==由抛物方程的经典理论可知(2．1)式存在惟一正解(，V)∈[C2,1(×(0，(E)))nC1,0(×[0，(e))](0<(E)。。)

8、，这里(e)是解的最大存在时间．此外，由类似与文献[13]中的方法可得，对任意0