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《一类广义的MHD方程强解的全局存在性.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一类广义的MHD方程的强解的全局存在性包忠欢段礼鹏*钮维生摘要：本文主要讨论了一类广义的三维MHD方程强解的全局存在性问题,运用Garlekin逼近方法和较为细致的正则性估计,我们证明了当初值时,外力项时,上述广义的三维方程强解的全局存在性关键词：广义的方程,强解,全局存在性中图分类：0175.2文献标码:A1.引言设是一个带有光滑边界的有界区域,我们考虑以下的广义的MHD方程这里常数分别为粘性系数和耗散系数,f是外力项,表示压力,表示速度场表示磁场,显然当时,即为经典的方程.作为磁流体力学问题中的经典模型,在过去的几十年里,MHD方程吸引了许多著名的数学家的关注和兴趣.
2、人们对其解的存在唯一性问题进行了深入和广泛地研究,参见[1,2].同经典的Navier-Stokes方程一样,二维的MHD方程存在着全局弱解和强解,但是三维MHD方程解的全局存在性问题仍然是悬而未决的公开数学难题,对于经典Navier-Stokes方程而言,其强解的全局存在性问题似乎在短期内难以解决.鉴于此,人们考虑了各种正则化的Navier-Stoke方程,如方程[4],Leray方程[5],等.特别Caraballo与Kloden等引入了一类广义的Navier-Stokes方程,并证明了三维情形下上述方程强解的全局存在性参见[9],.众所周知,MHD方程和Navier
3、-Stokes方程在解的存在性,适定性等方面有很多相似性.在[7,8,9]中,作者分别考虑了与文献[4,5,6]中几类正则化的Navier-Stokes方程相对应的几类正则化的方程,并将关于正则化的Navier-Stokes方程的研究结果推广到了相应的MHD方程.受上述工作的启发,本文中我们引入一类广义的MHD方程(1.1)并运用Garlekin逼近法证明了三维情形下广义MHD方程强解的全局存在性.再给出具体结果及证明之前,我们首先给出一些预备知识.记令是在中的完备化,这里中的内积和范数分别为,其中令是在中的完备化,这里中的内积和范数分别为,其中令为的对偶空间,为的对偶空
4、间,易知定义为常数,代表算子[10].2强解的全局存在性本文的主要结果如下定理1.假设并且对任意给定的,若则方程(1.1)存在唯一的强解.证明：考虑方程(1.1)的Garlekin逼近方程有关Garlekin逼近的细节问题请参考[10],我们分别用与方程(2.2)作内积可以得上面中两式相加可得这里是算子的最小特征值.从而上式两边分别关于从0到积分,可得由于,故有由紧定理,可知存在使得在选取适当的子列的意义下但是在上述意义下的收敛并不能保证为了保证能有上述收敛,我们需要做更强的估计,这里用与方程(2.2)作内积可得这里我们容易得到以下结果将(2.3)式的两个方程相加并结合(
5、2.4)式我们得到这里我们令首先得到关于的估计其次可以得到关于估计同样可以得到关于估计由此,我们可以得到对上述不等式关于变量从0到T作积分,可以得到这里,从而我们可以得到进一步可以验证在中有界,这里需验证在中有界,实际上对任意的由于在中有界.故容易验证在中也是有界的,所以我们有在中有界.类似的可得在中有界.由紧定理[3],可知存在使得在选取适当子列的意义下根据(2.5)我们对投影方程(2.2)取极限,关于非线性项收敛的证明完全类似于[9],这里省略不证.从而可以得到u,b是方程(1.1)满足定义(2.1)的强解,故定理可证.参考文献:[1]O.A.Ladyzhenskay
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