2013届新课标高中数学（理）第一轮总复习第3章+第23讲+直接证明与间接证明

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直接证明与间接证明第23讲 <② 解析：①a=0时不成立；②因为a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，所以成立；③a=0=b时不成立；④a=2，b=1时不成立，所以恒成立的只有②. 4.下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明；⑤反证法是逆推法，其中正确的语句有________个．解析：①②③正确，分析法是逆推法，反证法是间接证明方法，故④⑤错误．3 P＜Q 综合法的应用 点评 分析法的应用 点评本题主要考查用分析法证明不等式及分析问题、解决问题的能力．此题是一个开放性问题，寻找常数c需要根据题目条件，观察问题的特点，确定c的值，这是解决此类问题的关键；其次由于不等式的结构复杂，从已知入手，非常困难，采用分析法，化繁为简，顺利找到不等式成立的必要条件．当要证的不等式较为复杂，已知与待证间的联系不明显时，一般采用分析法． 反证法的应用 点评反证法是间接证法中的一种重要方法，体现了同一问题的另一种研究方法．当问题处于“否定性”“唯一性”或“无限性”背景时，往往会出现“至多”“至少”或“全都”等词，这类命题一般都采用反证法． 【变式练习3】求证：三条抛物线y＝cx2＋2ax＋b，y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a(a、b、c为非零实数)中至少有一条与x轴有交点． 【证明】假设三条抛物线都与x轴均无交点，则方程cx2＋2ax＋b＝0的判别式Δ1＝4a2－4bc＜0.同理，Δ2＝4b2－4ac＜0，Δ3＝4c2－4ab＜0，则Δ1＋Δ2＋Δ3＝4a2＋4b2＋4c2－4ab－4bc－4ac＜0，所以2(a－b)2＋2(b－c)2＋2(c－a)2＜0，这与2(a－b)2＋2(b－c)2＋2(c－a)2≥0相矛盾，故假设不成立．所以三条抛物线中至少有一条与x轴有交点． 1.已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R，q：－1a>0)，其浓度为_________；若再加入m(m>0)千克糖，糖水更甜了，根据这一生活常识，提炼出一个常见的不等式为_____________ 4.证明：a2＋ab与b2＋ab(其中a，b∈R)中至少有一个是非负数． 1．在数学问题解决过程中，不可能离开数学的证明．求解数学题，每个步骤的实施，都离不开证明的因素，所以证明是包含在推理过程之中的．证明一般分直接证明与间接证明两种． 直接证明是从已知或事实出发，遵照一定的逻辑程序推出问题的结论的一种证明方法，它主要有综合法和分析法两种．综合法是由已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，它的一般步骤是(已知)p0p1p2…pn(结论)．分析法正好与综合法的思维顺序相反，即先假设结论是正确的，由此逐步推出保证结论成立的必要判断，当这些判断恰好都是已知命题(正确的命题或关系)时，所要研究的问题就得到证明，它的一般步骤是(结论)pn…p2p1(已知)． 3．反证法的证明步骤：(1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；(2)归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)存真：由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．其中归谬是反证法的关键也是难点，导出矛盾的过程没有固定模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水、无本之木，同时注意推理必须严谨． 4．常用反证法的题型：(1)用直接证法证明比较困难的一些几何问题，尤其是证两条直线是异面直线与唯一性问题，常采用反证法；(2)关于否定性问题的证明一般都使用反证法加以证明；(3)命题中含有“至多”“至少”“不多于”或“最多”等词语的命题的证明，一般用反证法．