第4讲直接证明与间接证明.doc

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1、第4讲　直接证明与间接证明1．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法．(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又称为：执果索因法(逆推证法)．2．间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最

2、后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．(　　)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　　)(4)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．(　　)(5)常常用分析法寻找解题的思路与方法，用综合法展现解决问题的过程．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是

3、顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有(　　)A．2个　　　　　　　　　B．3个C．4个D．5个解析：选D.由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确．(教材习题改编)设m＝1＋，n＝2，则m与n的大小关系是(　　)A．m＞nB．m≥nC．m＜nD．m≤n解析：选C.法一：m2－n2＝(1＋)2－(2)2＝4＋2－8＝2－4＝－＜0，又m＞0，n＞0.所以m＜n，故选C.法二：假设m≥n，即1＋≥2.则有(1＋)2≥(2)2，即4＋2≥8，即2≥4，即≥2，即3≥4，显然错误，所以m＜n，

4、故选C.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设___________________．答案：三角形三个内角都大于60°在不等边三角形中，a为最大边，要想得到边a的对角A为钝角的结论，三边a，b，c应满足________．解析：由余弦定理cosA＝<0，所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.答案：a2>b2＋c2　　　　　　综合法(师生共研)(2018·高考江苏卷)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1B

5、C.【证明】　(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.综合法的证题思路(1)综

6、合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．　(一题多解)在△ABC中，设a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋cosA＝0平行，求证：△ABC是直角三角形．证明：法一：由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由正弦定理可知sinBcosB－sinAcosA＝0，即sin2B－sin2A＝0，故2

7、A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.若A＝B，则a＝b，cosA＝cosB，两直线重合，不符合题意，故A＋B＝，即△ABC是直角三角形．法二：由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由余弦定理，得a·＝b·，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2.若a＝b，则两直线重合，不符合题意，故a2＋b2＝c2，即△ABC是直角三角形．　　　　　　分析法(师生共研)已知函数f(x)＝3x－2

8、x，试证：对于任意的x1，x2∈R，均有≥f.【证明】　要证明≥f，即证明≥3－2·，因此只要证明－(x1＋x2)≥3－(x1＋x2)，即证明≥3，因此只要证明≥，由于x1，x2∈R时，3x1>0，3x2>