直接证明与间接证明

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1、§02直接证明与间接证明【基础再现】1、若nlg0.2＞0且m＋n＞0，则m－n＝.解析：由nlg0.2＞0得n＜0，∴m＞0∴m－n＞0.2、若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是.解析：P2＝2a＋7＋2,Q2＝2a＋7＋2,只需要比较a(a＋7)即a2＋7a与(a＋3)(a＋4)即a2＋7a＋12的大小，只需比较0与12的大小.∵0＜12，∴P2＜Q2，∴P＜Q.意图：逆向思考是分析法解题的主要思想，这一类比较大小的问题，常通过反推找到结论的等价条件.3、设a，b，c，d∈(0，＋∞)，若a＋d＝b＋c且

2、a－d

3、＜

4、b－c

5、，则ad与bc的大小关系为.解析：∵

6、a－d

7、＜

8、

9、b－c

10、Û(a－d)2＜(b－c)2Ûa2＋d2－2ad＜b2＋c2－2bc，又∵a＋d＝b＋cÛ(a＋d)2＝(b＋c)2Ûa2＋d2＋2ad＝b2＋c2＋2bc，∴－4ad＜－4bc，∴ad＞bc.4．设a、b、c是互不相等的正数，下列不等式：①

11、a－b

12、≤

13、a－c

14、＋

15、b－c

16、，②a2＋≥a＋，③

17、a－b

18、＋≥2，④－＜－，其中不恒成立的是.解析：①

19、a－b

20、＝

21、(a－c)＋(c－b)

22、≤

23、a－c

24、＋

25、c－b

26、恒成立；②∵a2＋＝(a＋)2－2∴a2＋≥a＋Û(a＋)2－2＞a＋Û(a＋)－(a＋)－2＞0Ûa＋≥2或a＋≤－1而上式成立，∴②式恒成立；③举反例：取a＝1，b＝2，

27、则0≥2不成立，故③不恒成立；④用分析法可得到上式恒成立，故本例填③.意图：这类“多选型”填空题，必须逐一判断，成立的要给予证明：或用综合法证明，如①；或用分析法证明，如②、④；不能恒成立的可通过反证法（举反例）.5.用反证法证明命题“若且，则和中至少有一个小于2”时，假设为.解：≥2，且≥2意图：反证法的第一步是“反设”，这一步一定要准确.要掌握“至多”、“至少”、“都”等词语的否定形式.【典型例题】例1已知a＞0，－＞1,求证：＞.证明：证法一：由已知－＞1及a＞0，可知b＞0，要证＞，可证·＞1，即证1＋a－b－ab＞1，这只需证a－b－ab＞0，即＞1，即－＞1，而这正是已知条件，

28、以上各步均可逆推，所以原不等式得证．证法二：－＞1及a＞0，可知1＞b＞0，∵－＞1，∴a－b－ab＞0,1＋a－b－ab＞1，(1＋a)(1－b)＞1.由a＞0,1－b＞0，得·＞1，即＞.意图：复习分析法和综合法证明的思路和步骤。逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件；用综合法思考的时候，要随时注意问题的结论，为了得到结论需要哪些已知条件，因此，综合中也有分析。在解题过程中，两种方法结合使用更好，可谓“珠联璧合”。变式1．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：＋＝．证明：要证＋＝，只需证＋＝3,即证＋＝1,只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝

29、(a＋b)(b＋c)，即证c2＋a2=ac＋b2．∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列．∴B=60°，由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，∴c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．变式2．若a>0，证明：－≥a＋－2．证明：要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋,∵a>0，∴两边均大于零，因此只需证(＋2)2≥(a＋＋)2即a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2(a＋)，即证≥(a＋)，只需证a2＋≥(a2＋＋2)，即证a2＋≥2，它显然成立，∴原不等式成立．例2已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3

30、n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．(1)对任意实数λ，证明：数列{an}不是等比数列；(2)试判断数列{bn}是否为等比数列．证明(1)：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a＝a1a3，即2＝λ⇔λ2－4λ＋9＝λ2－4λ⇔9＝0，矛盾．所以{an}不是等比数列．解(2)：因为bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1＝－(－1)n·(an－3n＋21)＝－bn，又b1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，bn＝0(n∈N*)，此时{bn}不是等比数列；当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0，由bn＋1＝－bn，可知bn≠0，所以＝－(n∈N

31、*)．故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列；综上知，当λ＝－18时，数列{bn}构不成等比数列；当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列．意图：复习反证法的证明思路和步骤.反证法的原理是“正难则反”，即如果正面证明有困难时（命题的结论中出现“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等词语的），或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以