11直接证明与间接证明

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1、第3讲直接证明与间接证明随堂演练巩固1.证明命题:”f(x)=e在上是增函数”,某同学给出的证明如下:∵f(x)=e∴f′(x)=e.又x>0,∴e.∴e.也就是f′(x)>0.∴函数f(x)在上是增函数,这位同学所使用的证明方法是()A.综合法B.分析法C.反证法D.以上都不是【答案】A2.分析法又叫执果索因,若使用分析法证明,设a>b>c,且a+b+c=0,求证:.索的因应是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0【答案】C【解析】要证成立,由于a>b>c,且a+b+c=0

2、,∴a>0,即证成立.也就是成立.整理可得(a-c)(2a+c)>0,又a+c=-b,∴即证(a-c)(a-b)>0.由于a>b>c,∴a-b>0且a-c>0.也就是不等式(a-c)(a-b)>0显然成立.故若用分析法证本题,索的因应是C项.3.用反证法证明命题“如果a>b,那么”时,假设的内容是.【答案】【解析】“如果a>b,那么”若用反证法证明,其假设为.4.在用反证法证明数学命题时,如果原命题的否定事项不止一个时,必须将结论的否定情况逐一驳倒,才能肯定原命题的结论是正确的.例如:在△ABC中,若AB=AC,P是△A

3、BC内一点求证:.用反证法证明时应分:假设和两类.【答案】课后作业夯基基础巩固1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件【答案】A2.要证明可选择的方法有以下几种,其中最合理的是()A.综合法B.分析法C.反证法D.归纳法【答案】B3.命题“对于任意角cossincos”的证明如下:“sinsincos2.”该过程应用了()A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法【答案】B【解析】因为证明过程是“从左往右”,即由条件结论.4.用反证法证明命题

4、“三角形的内角中至少有一个不大于60”时,假设正确的是()A.假设三内角都不大于60B.假设三内角都大于60C.假设三内角至多有一个大于60D.假设三内角至多有两个大于60【答案】B【解析】命题可叙述为“三角形的内角中至少有一个小于或等于60”,它的反设应是“三角形的内角都大于60”.5.要证:只要证明()A.B.C.D.【答案】D【解析】因为.6.设则()A.都不大于-2B.都不小于-2C.至少有一个不大于-2D.至少有一个不小于-2【答案】C【解析】因为所以三者不能都大于-2.7.已知点P(a,b)在直线x+2y=4的第

5、一象限的部分上,则loglog的最大值是()A.-1B.1C.-2D.2【答案】B【解析】由已知得a+2b=4,且00时,ba【解析】要使该不等式成立,则成立.也就是即证整理得ab(a-b)>0.∴只要ab与a-b同号,上述不等式便成立.9.用反证法证明“不可能成等差数列”时,正确的假设是.【答案】假设成等差数列10.设a、b、c、d

6、是正数,求证:下列三个不等式a+b0,所以4cd<(a+b)(c+d).结合式②,得4cd

7、立,只需证即即只需证而A+C=2B,∴B=60.∴.∴.从而原等式得证.拓展延伸12.如图,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.(1)若平面平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值;(2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.【解】(1)取CD的中点G,连接MG,NG.设正方形ABCD,DCEF的边长为2,则.因为平面平面DCEF,所以平面DCEF.可得是MN与平面DCEF所成的角.因为所以sin即MN与平面DCEF所成角的正弦值为.(2)证明:假设直线ME与BN共

8、面,则平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知,两正方形不共面,故平面DCEF.又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF,所以EN∥EF,这与矛盾,故假设不成立.所以直线ME与BN不共面,即它们是异