第2讲 直接证明与间接证明.doc

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1、第2讲直接证明与间接证明一、选择题1．设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的(　　)．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析　若“a＋b＝1”，则4ab＝4a(1－a)＝－42＋1≤1；若“4ab≤1”，取a＝－4，b＝1，a＋b＝－3，即“a＋b＝1”不成立；则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的充分不必要条件．答案　A2．对于平面α和共面的直线m，n，下列命题中真命题是(　　)．A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊂α，n∥α，则m∥nD．若m，n与α所

2、成的角相等，则m∥n解析　对于平面α和共面的直线m，n，真命题是“若m⊂α，n∥α，则m∥n”．答案　C3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)．A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0解析　因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.答案　D4．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是(　　)．A．②③B．①②

3、③C．③D．③④⑤解析　若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2，与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.答案　C5．设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)．A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2解析　∵a＞0，b＞0，c＞

4、0，∴＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案　D6．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则(　　)．A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形解析　由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．不妨令

5、得那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为π相矛盾．所以假设不成立，所以△A2B2C2是钝角三角形．答案　D二、填空题7．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________________________．解析　“至少有n个”的否定是“最多有n－1个”，故应假设a，b中没有一个能被5整除．答案　a，b中没有一个能被5整除8．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．解析　取a＝2，b＝1，得m

6、a－b⇐2·>0，显然成立．答案　m

7、－b)从而lg3和lg9正确，假设lg5＝a＋c－1错误，则由得所以lg5＝1－lg2＝a＋c.因此lg5＝a＋c－1错误，正确结论是lg5＝a＋c.答案　lg5＝a＋c三、解答题11．若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.又a，b，c是不全相等的正数，故上述三个不等式中等号不能同时成立．∴··＞abc成立．上式两边同时取常用对数，得lg＞lg(abc)，∴lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.12．设数列{an}是公比为q的等比

8、数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？(1)证明　假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q