直接证明与间接证明2

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1、第六节直接证明与间接证明基础梳理分析法直接证明间接证明综合法反证法已知条件和某些数学定义、定理、公理等一系列的推理论证推导出所要证明的结论成立要证明的结论它成立的充分条件判定一个明显成立的条件1.证明（1）证明分为与.直接证明包括、等；间接证明主要是.（2）综合法:一般地，利用经过,最后,这种证明方法叫做综合法.（3）分析法：一般地，从出发，逐步寻求使，直至最后，把要证明的结论归结为（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫做分析法.证明了原命题成立原命题不成立正确的推理假设错误（4）反证法：一般地，假设（即在原命题的条件下，结论不成立），经过,最后

2、得出矛盾，因此说明，从而，这样的证明方法叫做反证法.由因导果执果索因2.直接证明（1）综合法是“”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性.用综合法证明题的逻辑关系：AB1B2…BnB(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论),它的常见书面表达是“∵,∴”或“”.（2）分析法是“”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知.反设3.间接证明用反证法证明问题的一般步骤:（1）：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）归谬结论（2）：将“反设”作为条件，由此出发经过正确

3、的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）（3）：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.(结论成立)基础达标1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法.其中正确语句的个数为（）A.2B.3C.4D.5解析：由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤均正确.2.要证明+<2,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是()A.综合法B.分析法C.反证法D.归纳法解析：此不等式直接证不方便,可

4、转为寻找此不等式成立的充分条件.3.若sinx+cosx=，x∈(0,π)，则sinx-cosx的值为（）A.±B.-C.D.解析：由sinx+cosx=得1+2sinx·cosx=，∴sin2x=-∴x∈(，π).∵（sinx-cosx）2=1-sin2x=且sinx＞cosx，∴sinx-cosx=，故选D.4.用反证法证明命题：“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时，应假设（）三个内角都不大于60°B.三个内角都大于60°C.三个内角至多有一个大于60°D.三个内角至多有两个大于60°解析：因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形

5、的三个内角中至少有一个不大于60°”的否定是“三角形的三个内角中一个也没有不大于60°”，即“三个内角都大于60°”，故选B.5.(2010·安徽改编）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，则f(2011)-f(2010)=（）A.-1B.1C.-2D.2解析：∵f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0,∴f(2011)-f(2010)=f(402×5+1)-f(402×5+0)=f(1)-f(0)=1-0=1.经典例题题型一综合法【例1】(2011·湛江模拟)定义：若数列{An}满足An+1=A2n,则称数列{An}为“平方递推数列”，已知

6、数列{an}中，a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=2x2+2x的图象上，n∈N*，求证：数列{2an+1}是“平方递推数列”.分析：只须证明数列{2an+1}符合“平方递推数列”的定义即可.证明：∵点(an,an+1)在函数f(x)=2x2+2x的图象上，∴an+1=2a2n+2an,∴2an+1+1=2(2a2n+2an)+1=(2an+1)2,∴数列{2an+1}是“平方递推数列”.变式1-1设a＞0,b＞0,a+b=1,求证：解：∵a+b=1,∴当且仅当a=b=时等号成立.题型二分析法分析：注意分析法的格式是“要证…只需证…”，而不是“因为

7、…所以…”.变式2-1【例2】已知a＞b＞0,利用分析法证明：.证明：∵a＞b＞0,∴＞0,＞0,∴要证，只需证，即a+b-2＜a-b，只需证b＜，只需证b＜a，显然b＜a成立，因此原不等式得证.判断下面命题是真命题还是假命题，并用分析法证明你的结论.命题：若a＞b＞c且a+b+c=0，则题型三反证法解：命题是真命题，证明如下：∵a＞b＞c且a+b+c=0,∴a＞0,c＜0.要证，只需证，即证b2-ac＜3a2.因为b=-a-c，故只需证（a+c）2-ac＜3a2，即证2a2-ac-c2＞0，即证(2a+c)(a-c)＞0.∵2a+c=a-b＞0,a-c＞0

8、,∴(2a+c)(a-c)＞0成立，∴原命题成立.【