椭圆方程的几种常见求法.docx

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1、椭圆方程的几种常见求法河南陈长松对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法:、定义法例1已知两圆Ci：(x—4)2+y2=169,C2：(x+4)2+y2=9,动圆在圆Ci内部且和圆Ci相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程.分析：动圆满足的条件为：①与圆Ci相内切；②与圆C2相外切.依据两圆相切的充要条件建立关系解：设动圆圆心M(xy),半径为r,如图所示，由题意动圆M内切于圆Ci,•.MC1=13—r,圆M外切于圆C2•.MC2=3+rx・•.MC1+MC2=16•••动圆圆心M的轨迹是以

2、Ci、C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,222d一_b=a-c=64-16=48,22故所求轨迹方程为：J+2—=1.6448评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一.此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义.从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键.Pi(v16,1),P2(-<,3-V2),求该椭圆的二、待定系数法例2已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点方程.分析：已知两点，椭圆标

3、准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式:22mx+ny=1(m>0,n>0),进仃求解，避免讨论。解：设所求的椭圆方程为mx2+ny2=l(m>0,n>0).•••椭圆经过两点P(J6,1),P2(—J3,—J2),'6m+n=1,3m+2n=1.解得mJ9nJ3,故所求的椭圆标准方程为2+J.3a,b的值：若焦点评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程.三、直接法22例3设动直线l垂直于X轴，且交椭圆上+匕=1于

4、A、B两点，P是l上线段42AB外一点，且满足PA•PB=1,求点P的轨迹方程.分析：如何利用点P的坐标与椭圆上A,B两点坐标的关系，是求点P的轨迹的关键，因直线l垂直于X轴，所以P、A、B三点的横坐标相同，由A、B在椭圆上，所以A、B两点的纵坐标互为相反数,因此，紧紧抓住等式PA•PB=1即可求解.解：设P(X,y),A(Xa,Ya),B(Xb,Yb),由题意：X=Xa=Xb,Ya+Yb=0••PA=

5、y—Ya,PB

6、=

7、y-Yb，;p在椭圆外，，y—Ya与y—Yb同号,・•・PA•PB=(y—

8、Ya)(y—Yb)=y2—(Ya+Yb)y+YaYb=1222XAX・XaNb=—Na=-2(1-十)=-2(1-7)44222y2-2(1--)=1,即—+—=1(-2

9、)以BC边所在直线为x轴，BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系,设G(x,y),由GC+2GB=—父30,知G点的轨迹是以B、C为焦点,3长轴长为20的椭圆且除去22x轴上的两顶点，方程为—+—=1(y^0).10036(2)设人(x,y),G(22x0,y0),则由(1)知G的轨迹方程是汉+江=1(y°¥0)10036•••G为AABC的重心xx0-33代人得:V」y。一322y--y—二1(y=0)900324其轨迹是中心为原点，焦点在x轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点.评注：本题的两问是分别

10、利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同.WelcomeToDownload!!!欢迎您的下载，资料仅供参考!