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1、椭圆的方程的求法、定义法【例1】已知AABC的周长是18,A(T0),B(4,0),求点C的轨迹方程。【变式】：在周长为定值的4ABC中，已知
2、AB
3、=6,且当顶点C位于定点P时,cosC有最小值为-7.建立适当白坐标系，求顶点C的轨迹方程.25【解】：以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,设
4、CA
5、+
6、CB
7、=2a(a>3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距2c=
8、AB
9、=6因为cosC二
10、CA
11、2•
12、CB
13、2-62二(
14、CA
15、•
16、CB
17、)2-2
18、CA
19、
20、CB
21、-36=2a
22、2-18_12
23、CA
24、
25、CB
26、2
27、CA
28、
29、CB
30、
31、CA
32、
33、CB
34、2a18又
35、CA
36、
37、CB
38、M(-a)2=a2,所以cosC之1--
39、,2a由题意得1-1
40、=工,a2=25a225此时,
41、PA
42、=
43、PB
44、,P点坐标为P(0,切).22所以C点的轨迹方程为二十匕=1(y¥0)2516【例2】已知椭圆C以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为(1,0)，点M
45、三3,也在椭圆上，求椭圆C的方程；122；精品资料【解法1】:有定义可得Fi(1,0),F2(—1,0),点M堂卜椭圆上。所以2a=
46、MFi
47、十
48、MF
49、2=2瓜,又c=122故椭圆方程为：土=13222【解2】设椭圆方程^r+^r=1(a>b>0)ab.c=1,a2=b2136二点d3,盘］在椭圆上，冬+冬=122a2b242一2一.4b-5b-6=0.b=2,a222xy=3.——=13222【例3】已知圆F1：(x+1)+y=16,定点F2(1,0).动圆M过点F2,且与圆F1相内切.求点M的轨迹C的方程.【解析】设圆M的半径为r.因为圆M与圆F1相内切，所以MF1=4—r.因为圆M过点F2,所以MF2=r.所以MF1=4—MF2,即MF1+MF2=4.所以点M
50、的轨迹C是以F1,F2为焦点的椭圆.x2y2且此椭圆的方程形式为7+b；=1(a>b>0).其中2a=4,c=1,所以a=2,b=x2y2所以曲线C的方程—L精品资料【例4】设x,ywR,i,j为直角坐标系内x,y轴正方向的单位向量，a=xi+(y+2)j,b=x；+(y-2)j,且向+
51、b
52、=8.求点M(x,y)的轨迹C的方程；【解析】由已知可得二=/，y+2)b=(x,y-2)又
53、二
54、十
55、7
56、=8知，x2(y2)2,x2(y-2)2=8即点M(x,y)到两定点Fi(0,-2),F2(0,2)的距离之和为定值8,又
57、8>4所以M(x,y)的轨迹为以Fi(0,-2),F2(0,2)为焦点椭圆,故方程为2・匕=11216精品资料精品资料,若点A,B的坐标分别为【例5】已知AABC的三边长
58、CB
59、,
60、AB
61、,
62、CA
63、成等差数列(-1,0),(1,0).求顶点C的轨迹W的方程;【解析】：因为
64、CB
65、,
66、AB
67、,
68、CA
69、成等差数列，点A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0)所以
70、CB
71、+
72、CA
73、=2
74、AB
75、=4且4a
76、AB
77、由椭圆的定义可知点C的轨迹是以A,B为焦点长轴为4的椭圆(去掉长轴的端点),所以a=2,c=1,b-3.22故顶点
78、C的轨迹W方程为—+—=1(y^0)43【例6】一束光线从点印-1,0)出发,经直线l:2x-y+3=0上一点D反射后，恰好穿过点F2(1,0).求以Fi、F2为焦点且过点D的椭圆C的方程;【解析】设点Fi关于直线l:2x-y+3=0的对称点F；(m,n),n19=—一m=―一则《m+12，解得《5,--.f/(-9,2)精品资料cm-1n25523=0n=—22.5•••
79、PF/
80、=
81、PFi
82、,根据椭圆的定义，得2a=
83、PFVlPF?l=
84、FiF2l=J(-9-1)2+(1-0)2=2^，55.•.a=2,,c=1
85、,b=22.—1=1,2•••椭圆C的方程为土+y2=1.2【例71已知圆M:(x-5；2+y2=36,定点N(V5,0),点P为圆M上的动点，点Q在——TTNP上，点G在MP上，且满足NP=2NQ,GQ,NP=0,求点G的轨迹方程。【解析】由题意可得：GQ垂直平分NP,所以GP=GN,所以GMGN=GP=6二、待定系数法高考试题整理中的试题1.(2009广东)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为—,且222G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,椭圆G的方程.上+玉=136922yx3.(2009浙江
86、理)已知椭圆C"今+方=1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过C1的焦ab2点且垂直长轴的弦长为1.求椭圆C1的方程.£+x2=1416.(2009宁海理)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，22它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.求椭圆C的方程.人+上=1167227.(2009山东理)设椭圆E:"+斗=1(a>
