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1、椭圆的方程的求法一、定义法【例】已知的周长是，，求点的轨迹方程。【变式】：在周长为定值的△中,已知,且当顶点位于定点时有最小值为.建立适当的坐标系,求顶点的轨迹方程.【解】:以所在直线为轴,线段的中垂线为轴建立直角坐标系,设(>)为定值,所以点的轨迹是以、为焦点的椭圆,所以焦距
因为又,所以,由题意得此时点坐标为(,±).所以点的轨迹方程为【例】已知椭圆以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，求椭圆的方程；【解法】：有定义可得，点在椭圆上。所以，又故椭圆方程为：【解】设椭圆方程点在椭圆上，【例】已知圆，
2、定点．动圆过点，且与圆相内切．求点的轨迹的方程.【解析】设圆的半径为．因为圆与圆相内切，所以＝－．因为圆过点，所以＝．所以＝－，即＋＝．所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆．且此椭圆的方程形式为＋＝(＞＞)．其中＝，＝，所以＝，＝．所以曲线的方程＋＝．【例】设为直角坐标系内轴正方向的单位向量，，且．求点的轨迹的方程；【解析】由已知可得又知，即点到两定点的距离之和为定值，又>所以的轨迹为以为焦点椭圆，故方程为【例】已知的三边长成等差数列,若点的坐标分别为.求顶点的轨迹的方程;【解析】:因为成等差数列,点的坐标分别为所以且
由椭圆的定义可知点
3、的轨迹是以为焦点长轴为的椭圆(去掉长轴的端点),所以.
故顶点的轨迹方程为【例】一束光线从点出发,经直线上一点反射后,恰好穿过点．求以、为焦点且过点的椭圆的方程;【解析】设点关于直线的对称点,则,解得,∴∵,根据椭圆的定义,得,∴,,．∴椭圆的方程为．【例】已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在上，且满足，求点的轨迹方程。【解析】由题意可得：垂直平分，所以，所以一、待定系数法高考试题整理中的试题．（广东）已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为，椭圆的方程．．（浙江理）已知椭圆：的右顶点为
4、，过的焦点且垂直长轴的弦长为．求椭圆的方程．．（宁海理）已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是和．求椭圆的方程．．（山东理）设椭圆（）过，两点，为坐标原点，求椭圆的方程。．（全国Ⅱ）已知椭圆的离心率为，直线过右焦点，当的斜率为时，坐标原点到的距离为，求，的值．．（安徽文）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切．求与．．．（湖南文）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为的正方形（记为）．求椭圆的方程．．二、转化已知条
5、件【例】已知点的坐标分别是,,直线相交于点,且它们的斜率之积为.求点轨迹的方程;【解析】:设点的坐标为,∵,∴整理,得(),这就是动点的轨迹方程【例】设、分别为的外心和重心,已知,,｡求点的轨迹【解析】:设,∵,∴又∵是外心,且
∴∵
∴,即【例】已知动点到直线的距离是到定点()的距离的倍.求动点的轨迹方程;
【解析】:设动点,由题意知..即动点的轨迹方程是.
【例】在平面直角坐标系中,长度为的线段的一个端点在射线(≤)上滑动,另一端点在射线(≤)上滑动,点在线段上,且求点的轨迹方程;【解】:设点、、的坐标分别是(,)、()、(,)
6、其中≤≤,依条件可得∴可得：
代入(*)式,得
即点的轨迹方程为【例】已知（，）、（，），若动点满足。求动点的轨迹方程；
【解】设动点（，），则由已知得，化简得∴点的轨迹是椭圆【例】已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．求动点的轨迹的方程；【解析】设，则，∵，∴．即，即，所以动点的轨迹的方程．【例】已知平面上一个定点（－，）和一条定直线：－，为该平面上一动点，作⊥，垂足为，（）求点的轨迹方程；【解析】由，设（，），得，，∴点的轨迹方程为．
