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《椭圆方程求法例题》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、椭圆的方程的求法一、定义法【例1】已知的周长是18,,求点的轨迹方程。【变式】:在周长为定值的△ABC中,已知
2、AB
3、=6,且当顶点C位于定点P时,cosC有最小值为.建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.【解】:以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,设
4、CA
5、+
6、CB
7、=2a(a>3)为定值,所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,所以焦距2c=
8、AB
9、=6
因为又,所以,由题意得此时,
10、PA
11、=
12、PB
13、,P点坐标为P(0,±4).所以C点的轨迹方程为【例2】已知椭圆以坐标轴为对称轴,以坐标原点为对称中心,椭圆的一个焦
14、点为,点在椭圆上,求椭圆的方程;【解法1】:有定义可得,点在椭圆上。所以,又故椭圆方程为:【解2】设椭圆方程点在椭圆上,OxyF2F1M【例3】已知圆,定点.动圆M过点F2,且与圆F1相内切.求点M的轨迹C的方程.【解析】设圆M的半径为r.因为圆M与圆F1相内切,所以MF1=4-r.OxyF2F1M因为圆M过点F2,所以MF2=r.所以MF1=4-MF2,即MF1+MF2=4.所以点M的轨迹C是以F1,F2为焦点的椭圆.且此椭圆的方程形式为+=1(a>b>0).其中2a=4,c=1,所以a=2,b=.所以曲线C的方程+=1.【例4】设为直角
15、坐标系内轴正方向的单位向量,,且.求点的轨迹的方程;【解析】由已知可得又知,即点到两定点的距离之和为定值8,又8>4所以的轨迹为以为焦点椭圆,故方程为【例5】已知的三边长成等差数列,若点的坐标分别为.求顶点的轨迹的方程;【解析】:因为成等差数列,点的坐标分别为所以且
由椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点长轴为4的椭圆(去掉长轴的端点),所以.
故顶点的轨迹方程为【例6】一束光线从点出发,经直线上一点反射后,恰好穿过点.求以、为焦点且过点的椭圆的方程;【解析】设点关于直线的对称点,则,解得,∴∵,根据椭圆的定义,得===,∴,,.∴椭圆的方程为
16、.【例7】已知圆,定点,点为圆上的动点,点在上,点在上,且满足,求点的轨迹方程。【解析】由题意可得:垂直平分,所以=,所以一、待定系数法高考试题整理中的试题1.(2009广东)已知椭圆的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,且上一点到的两个焦点的距离之和为12,椭圆的方程.3.(2009浙江理)已知椭圆:的右顶点为,过的焦点且垂直长轴的弦长为.求椭圆的方程.16.(2009宁海理)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.求椭圆C的方程.7.(2009山东理)设椭圆()过,两点,为坐标
17、原点,求椭圆的方程。9.(2009全国Ⅱ)已知椭圆的离心率为,直线过右焦点F,当的斜率为1时,坐标原点到的距离为,求,的值.10.(2009安徽文)已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切.求a与b..14.(2009湖南文)已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q).求椭圆C的方程..一、转化已知条件【例1】已知点的坐标分别是,,直线相交于点M,且它们的斜率之积为.求点M轨迹的方程;【解析】:设点的坐标为,∵,∴整理,得(),这就是动点
18、M的轨迹方程【例2】设Q、G分别为的外心和重心,已知,,。求点的轨迹【解析】:设,∵,∴又∵Q是外心,且
∴∵
∴,即【例3】已知动点P到直线的距离是到定点()的距离的倍.求动点P的轨迹方程;
【解析】:设动点,由题意知.
.即动点P的轨迹方程是.
【例4】在平面直角坐标系中,长度为6的线段PQ的一个端点P在射线y=0(x≤0)上滑动,另一端点Q在射线x=0(y≤0)上滑动,点M在线段PQ上,且求点M的轨迹方程;【解】:设点P、Q、M的坐标分别是P(x1,0)、Q(0,y1)、M(x,y)其中x1≤0,y1≤0,依条件可得
∴可得:
代入(
19、*)式,得
即点M的轨迹方程为【例5】已知M(4,0)、N(1,0),若动点P满足。求动点P的轨迹方程;
【解】设动点P(x,y),则由已知得,化简得∴点P的轨迹是椭圆【例7】已知点,直线:,为平面上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,且.求动点的轨迹的方程;【解析】设,则,∵,∴.即,即,所以动点的轨迹的方程.【例8】已知平面上一个定点C(-1,0)和一条定直线L:x=-4,P为该平面上一动点,作PQ⊥L,垂足为,(1)求点P的轨迹方程;【解析】由,设P(x,y),得,,∴点P的轨迹方程为.