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时间:2019-11-02
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1、椭圆方程的几种常见求法河南陈长松对于求椭圆方程的问题,通常有以下常见方法: 一、定义法 例1已知两圆C1:,C2:,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,求动圆圆心的轨迹方程.分析:动圆满足的条件为:①与圆C1相内切;②与圆C2相外切.依据两圆相切的充要条件建立关系式.解:设动圆圆心M(,),半径为,如图所示,由题意动圆M内切于圆C1, ∴,圆M外切于圆C2 , ∴,OMC2 ∴, ∴ 动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆, 且, , 故所求轨迹方程为:. 评注:利用圆锥曲线的定义解题,是解决轨迹问题的基本方法之一.此题先根据平面几何知识,列出外切的条件,
2、内切的条件,可发现利用动圆的半径过度,恰好符合椭圆的定义.从而转化问题形式,抓住本质,充分利用椭圆的定义是解题的关键.二、待定系数法 例2已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点,求该椭圆的方程.分析:已知两点,椭圆标准方程的形式不确定,我们可以设椭圆方程的一般形式:=1(,进行求解,避免讨论。解:设所求的椭圆方程为=1(.∵椭圆经过两点,∴ 解得 ,故所求的椭圆标准方程为. 评注:求椭圆标准方程,可以根据焦点位置设出椭圆标准方程,用待定系数法求出的值:若焦点位置不确定,可利用椭圆一般形式简化解题过程.三、直接法例3 设动直线垂直于轴,且交椭圆于A、B两点,P是上线段AB外一点
3、,且满足,求点P的轨迹方程.分析:如何利用点P的坐标与椭圆上A,B两点坐标的关系,是求点P的轨迹的关键,因直线垂直于轴,所以P、A、B三点的横坐标相同,由A、B在椭圆上,所以A、B两点的纵坐标互为相反数,因此,紧紧抓住等式即可求解.解:设P(,),A(,),B(,) ,由题意:==,+=0∴,,∵P在椭圆外,∴-与-同号,∴=(-)(-)= ∵ ,即为所求.评注:求轨迹方程,首先要找出动点与已知点之间的关系,建立一个等式,用坐标代换.四、相关点法例4 的底边BC=16,AC和AB两边上的中线长之和为30,求此三角形重心G和定点A的轨迹方程.分析:由题意可知G到B、C两点的距离之和为定值,
4、故可用定义法求解,A点和G点的关系式好建立,故可用相关点法去求.解(1)以BC边所在直线为轴,BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系, 设G(,),由,知G点的轨迹是以B、C为焦点, 长轴长为20的椭圆且除去轴上的两顶点,方程为. (2)设A(,),G(,则由(1)知G的轨迹方程是 ∵ G为的重心 ∴代入得: 其轨迹是中心为原点,焦点在轴上的椭圆,除去长轴上的两个端点. 评注:本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的,要注意各自的特点,另要注意轨迹与轨迹方程的不同.
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