逆矩阵的几种常见求法.

《逆矩阵的几种常见求法.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、逆矩阵的几种常见求法潘风岭摘要本文给出了在矩阵可逆的条件下求逆矩阵的几种常见方法，并对每种方法做了具体的分析和评价,最后对几种方法进行了综合分析和比较.关键词初等矩阵；可逆矩阵；矩阵的秩；伴随矩阵；初等变换．1．相关知识1.1定义1设A是数域P上的一个n级方阵，如果存在P上的一个n级方阵B，使得AB=BA=E,则称A是可逆的，又称A是B的逆矩阵．当矩阵A可逆时，逆矩阵由A唯一确定，记为．定义2设,由元素的代数余子式构成的矩阵称为A的伴随矩阵，记为A.伴随矩阵有以下重要性质AA=AA=E.注:注意

2、伴随矩阵中的元素的排列顺序.1．2哈密尔顿-凯莱定理12设是数域上的一个矩阵，是的特征多项式，则．1.3矩阵A可逆的充要条件1.3.1级矩阵A可逆的充分必要条件是（也即）;1.3.2n级矩阵A可逆的充分必要条件是A可写成一些初等矩阵的乘积（证明参见[1]）；1.3.3n级矩阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换（特别只通过初等行或列变换）化为n级单位阵（证明参见[1]）；1.3.4n级矩阵A可逆的充分必要条件是存在一个n级方阵B，使得AB=E（或BA=E）；1.3.5n级矩阵A可逆的充分必要

3、条件是A的n个特征值全不为0；（证明参见[2]）；1.3.6定理对一个矩阵作一初等行变换就相当于在的左边乘上相应的初等矩阵；对作一初等列变换就相当于在的右边乘上相应的初等矩阵.（证明参见[1]）2．矩阵的求逆2.1利用定义求逆矩阵对于n级方阵A，若存在n级方阵B，使AB=BA=E，则.12或即可，若，则，同样可由得到.例1设n级矩阵满足方程证明可逆.并求它的逆矩阵.证明由得即或由定义可知，可逆，且.例2设A，B是n级方阵，若A+B与A-B可逆，试证明可逆，并求其逆矩阵．证明令12，由假设知，那么

4、，即D可逆.再令，由，即可得12由（1）+（2）和（1）-（2）可解得由（5），（6）解得类似由（3），（4）可解得.2.2利用伴随矩阵逆矩阵例3　已知解因为所以122．3利用初等变换求逆矩阵（其中为单位阵）有一系列初等矩阵，使得把A，E这两个矩阵凑在一起，作成一个矩阵（A，E），按矩阵分块的乘法.所以我们在求时，可将与写成一个n行2n列的矩阵只进行初等行变换，当化为时，化为.读者可类似的得出．例4设．证明所以122．4利用等价标准形求逆矩阵命题　设A是n级可逆矩阵，A的秩等于n，则存在可逆矩阵

5、，使，故．证明　首先构造矩阵，然后对进行有限次初等行变换或列变换后，D可化为，则存在初等矩阵使得，则.所以12.例5　求可逆矩阵的逆矩阵.解　构造矩阵得2．5利用哈密尔顿—凯莱定理求逆矩阵设是的特征多项式，若可逆，则,由可得，进而可求．12例6　设是的复系数多项式，n级复矩阵的特征根都不是的零点，试证为满秩矩阵，且的逆矩阵可表示为A的多项式．证明　设A的n个特征根为，所以的n个特征根为，由假设可知可逆.其中，由哈密尔顿—凯莱定理令12即的逆矩阵可表为A的多项式.例7　设，求.证明　A的特征多项式

6、为，由哈密尔顿—凯莱定理知因此可得.3．总结第一种方法属于一种验证的方法，适用于抽象矩阵A（n级）的求逆，首先证明存在一个n级矩阵B使得AB=E或BA=E，则A可逆，且，如例1，对于分块矩阵也可用此方法求逆，不过此时需首先把逆矩阵设出，然后通过解方程组得出，如例2.但对于有限级数字矩阵一般不用此方法因为此方法需要首先找到，再验证AB=E或BA=E是否成立，或首先用待定系数法把设出通过解方程组求出B的所有元素，这样很烦琐且易出错，一般不采用此方法.12但对于一些特殊矩阵此方法还是适用的，如求的逆矩

7、阵，可令，有AB=E，则．第二种方法只对低级矩阵（特别是2级矩阵）利用伴随矩阵进行计算.对高级矩阵用此方法求逆矩阵，不仅计算量大而且易出错，一般不用此方法，而对于抽象矩阵的求逆一般也不用此方法，因为一般情况下伴随矩阵根本无法求出．第三种方法简单易懂且容易计算，是一种常用方法，但要注意计算时只能进行初等行变换或初等列变换，不能二者同时进行.此方法多用于三级及三级以上的矩阵求逆，对于三级以下的矩阵虽可用此方法，但有时候用伴随矩阵的方法可能会更简单.对于分块矩阵求逆同样可用此方法，不过此时进行的是广义

8、初等变换，如例4.当然也可以先设出逆矩阵，利用解方程组得出，显然这样有些麻烦，但这种方法也不能解决所有问题，像例1此方法就不适用了．第四种求逆方法在一般教材中很少提到，同时采用初等行和列变换，把已知可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵，前面提到的第三种方法只是利用初等行变换或列变换，此方法是第三种方法的推广和延伸.用此方法求逆未必比第三种方法简单，但至少有理论上的意义.第三种方法和第四种方法都是从等价标准形的角度求逆矩阵的.第五种方法对于不超过4级的数字可逆矩阵可用此方法求解，若级数