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1、逆矩阵的几种求法与解析王红斌指导教师:袁晓红(河西学院数学与应用数学专业2012级3班32号,甘肃张掖734000)摘要矩阵在线性代数中有很重要的地位,矩阵理论具有十分丰富的内容,它是学习数学与其他学科的基础,为了更便捷地解决矩阵的逆,本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法.主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法,并对部分进行了简要论证.关键词逆矩阵;分块矩阵;初等变换;伴随矩阵中图分类号O151.21SeveralwaysofsolutionandanalysisofInverse
2、MatrixWangHongbinInstructorYuanXiaohong(No.32class 3of2012,SpecialtyofMathematicsandAppliedMathematics,HeXiUniversity,Zhangye,Gansu734000)Abstract:Inordertosolvetheinversematrixmoreconvenient,Thispaperaccordingtothedifferentcharacteristicsofdifferentmatrixwhichsi
3、mplyintroducedseveralmethods,therearedefinitionmethod,adjointmatrixmethod,elementarytransformationmethod,aswellasabriefargumentationonitpartly.Keywords:Inversematrix;Partitionedmatrix;Elementarytransformation;Adjointmatrix1引言矩阵是高等代数的主要研究对象之一,在自然科学、工程技术乃至社会科学中均广泛应
4、用.而矩阵的逆矩阵在矩阵理论中又有着重要地位,由于其解法灵活,综合性较强,能力要求较高,解决这类问题,要掌握各数学分支知识,并能综合运用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法.在数学上,灵活运用从特殊到一般的思想,可以使很多难以解释的问题得到很好的解决.关于矩阵的逆,在高等代数和线性代数的学习中就有了一定的认识,如何求逆矩阵一直是研究者探讨的问题.本文重点总结了常见的几种求逆矩阵的方法,并对其原理和应用范围进行简单的说明.不同矩阵的逆矩阵可用不同的方法来求,从而达到简便易求的目的.122预备知识2.1几个定义定义1[1]设
5、是一个阶矩阵,如果存在阶矩阵,使得,则称矩阵是可逆矩阵,并称是的逆矩阵.定义2[4]通常用若干条纵线和横线将矩阵分成许多小矩阵,每一个小矩阵称为的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.例如,其中四个分块分别是,,,.定义3[9]下面三种变换称为矩阵的初等行变换:(1)对调矩阵的两行(对调两行,记为);(2)以数乘某一行中的所有元素(第行乘,记为);(3)把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去(第行的倍加到第行上,记为).把定义中的“行”换成“列”,即得到矩阵的初等列变换的定义(所用记号是把“”换成“”).矩
6、阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.2.2几个定理定理1[4]阶矩阵为可逆的充分必要条件是非奇异.且,12其中是中元素的代数余子式.矩阵称为矩阵A的伴随矩阵,记作,于是有.定理2[6]如果阶矩阵可逆,那么它的逆矩阵是,其中,.3求逆矩阵的几种方法3.1用定义法求逆矩阵例1[8]求证如果方阵满足,那么是可逆矩阵,且.证明因为与可以交换,所以,因,于是得,12同理可得,因此是可逆矩阵,且,同理可以证明也可逆,且.由此可知,只要满足,就可以利用此题求出一类矩阵EA的逆矩阵.例2 设,求的逆矩阵.分析由于中有许多元素
7、为零,考虑是否为零矩阵,若为零矩阵,则可以采用例1的方法求的逆矩阵.解容易验证,,而,所以.3.2初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵,特别是在方阵阶数较高时,常用初等变换法.如果A可逆,则A可通过行初等变换,化为单位矩阵I,即存在初等矩阵使,(1)用右乘上式两端,得.(2)12比较(1)、(2)两式,可看到当A通过行初等变换化为单位矩阵的同时,对单位矩阵I作同样的初等变换,就化为A的逆矩阵.用矩阵表示,就是求逆矩阵的初等行变换法.例3[5]已知矩阵,求.解由于是.在事先不知n阶矩阵是否可逆的情况下,也可以直接用此方
8、法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0,则意味着A不可逆,则说明不可逆,即,则不存在.例4求的逆矩阵.解由于左端矩阵中有一行元素全为0,于是它不可逆,因此A不可逆.12注意:上面是用作行初等变换求逆矩阵;同样只用初等列变换也可以求逆矩阵,但在计算时单位矩阵不放在的右边,而是放在的下面.用矩阵表示:.就
