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1、逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容,逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义:设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB=BA=E,则称A为可逆矩阵,而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1求证:如果方阵A满足Ak=0,那么EA是可逆矩阵,且-12K-1（E-A）=E+A+A+…+A证明因为E与A可以交换,所以2K-1K(E-A)(E+A+A+…+A)=E-A,K因A=0,于是得2K-1(E-A)（E+A+A+…+A）=E，
2、2K-1同理可得（E+A+A+…+A）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且-12K-1(E-A)=E+A+A+…+A.同理可以证明(E+A)也可逆,且-12K-1K-1(E+A)=E-A+A+…+（-1）A.K由此可知,只要满足A=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.é0100ùêú0200例2设A=êú,求E-A的逆矩阵.ê0003úêúë0000ûK分析由于A中有许多元素为零,考虑A是否为零矩阵,若为零矩阵,则可以采用例2的方法求E-A的逆矩阵.解容易验证é0020ùé0006ùêúêú00060000A2=êú，A3=êú，A4=0ê0000úê0000úêúêúë0000
3、ûë0000û23而(E-A)(E+A+A+A)=E,所以é1126ùêú0126(E-A)-1=E+A+A2+A3=êú.ê0013úêúë0001û2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A可逆，则A可通过初等变换，化为单位矩阵I，即存在初等矩阵P,PL,P使12S-1（1）ppLpA=I，用A右乘上式两端，得：12s-1（2）ppLpI=A12s比较（1）（2）两式，可以看到当A通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位-1矩阵I作同样的初等变换，就化为A的逆矩阵A.初等行变换-1用矩阵表示（AI）¾¾¾¾®为（IA），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较
4、简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.é231ùêú例1求矩阵A的逆矩阵.已知A=013.êúêë125úûé231100ùé125001ùêúêú解[AI]®013010®013010êúêúêë125001úûêë231100úûé125001ùé100-1/6-13/64/3ùêúêú®013010®0101/23/2-1êúêúêë001-1/6-1/61/3úûêë001-1/6-1/61/3úû1é-1/6-13/64/3ù-1êú故A=1/23/2-1.êúêë-1/6-1/61/3úû在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情
5、况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A不可逆，因为此时表明A=0，-1则A不存在.é123ùêú例2求A=456.êúêë789úûé123100ùé123100ùêúêú解[AE]=456010®0-3-6-410êúêúêë789001úûêë0-6-12-701úûé123100ùêú®0-3-6-410.êúêë0001-21úû由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A不可逆.3.伴随阵法定理n阶矩阵A=[a]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且ijéAA...Aù1121n1êúA-1=1êA12A22...An2úAê..
6、..........úêúAA...Aë1n2nnnû其中A是A中元素a的代数余子式.ijijéAA...Aù1121n1êú矩阵êA12A22...An2ú称为矩阵A的伴随矩阵，记作A3，于是有A-1=1A3.ê............úAêúAA...Aë1n2nnnû-1-1-1证明必要性：设A可逆，由AA=I，有AA=I，则AA=I，所以A¹0，即A为非奇异.充分性：设A为非奇异，存在矩阵2éAA...Aù1121n1êúB=1êA12A22...An2ú，Aê............úêúAA...Aë1n2nnnû其中éa11a12...a1nùéA11A21...An1ùêúêú
7、êa21a22...a2nú1êA12A22...An2úAB=´ê............úAê............úêúêúëan1an2...annûëA1nA2n...AnnûéA0...0ùé10...0ùêúêú10A...001...0=êú=êú=IAê......A...úê......1...úêúêúë00...Aûë00...1û同理可证BA=I.-113由此可知，若A
